Шпора з економетрики

Означення.

Оцiнкою узагальненого МНК коефiцiєнтiв моделi (1.94) називається оцінка звичайного МНК, знайдена за моделлю (1.96).

Зауваження.

Якщо матриця  є дiагональною, то узагальнений МНК в точностi спiвпадає зi зваженим МНК.

На практицi у бiльшостi випадкiв матриця  є невiдомою. Якщо не робити нiяких додаткових припущень щодо структури матрицi , то її оцiнити неможливо, оскiльки при наявностi n спостеpежень ця матриця мiстить невiдомих параметрiв. Отже, потрібно робити певнi припущення щодо збурень – розглядати моделi зi збуреннями спецiального вигляду. Найчастіше розглядаються моделі, зі збуреннями, пiдпорядкованими процесу авторегресiї першого порядку.

36. Процес AR(1)

Нехай задана стаціонарна послiдовнiсть випадкових величин (i, i=0, 1, 2...):

i=i-1+i, (1.98)

де –чисельний параметр, а i задовольняють тим самим припущенням, що і збурення в класичній лінійній регресії, тобто

Ei = 0, (1.99)

Di=2=const, (1.100)

cov(i,j)=Eij=0, . (1.101)

cov(i,j)=0, (1.102)

Стаціонарність послідовності (1.98) означає, що

Ei = 0, (1.103)

Di=const, (1.104)

cov(i,i-k)=cov(i+m,i+m-k) (1.105)

для будь-яких m та k. Іншими словами коваріація між i та j не залежить від i та j, а залежить лише від їх різниці. Послідовність (1.98) називається процесом авторегресiї першого порядку, позначення–AR(1). Величина cov(i, i-k) називається коваріацією k-го порядку процесу. Обчислимо дисперсію та коваріації процесу AR(1). Для знаходження дисперсії скористаємось формулою (1.98):

, (1.106)

внаслідок (1.102) і (1.104). З формули (1.06) маємо

(1.107)

З виразу (1.107) бачимо, що стаціонарний процес з властивостями (1.99)-(1.102) існує, коли . Для знаходження коваріації першого порядку домножимо рівність (1.98) почленно на i-1 і обчислимо математичне сподівання обох частин: