Шпора з економетрики

Якщо гіпотеза про стійкість моделі вірна, то

. (1.72)

25.Асимптотичні в-ті МНК-оцінок.

В багатьох випадках скінченовимірні властивості оцінок найменших квадратів, описані вище, можуть не зберігатись. Так, якщо збурення не є нормально розподіленими, то і розподіл МНК-оцінки вже не буде нормальним. Якщо порушується умова, що всі некорельовані зі всіма , математичне сподівання b не дорівнюватиме . Більш того, модель лінійної регресії, збурення в якій задовольняє всі класичні умови є однєю з небагатьох в економетриці, коли відомий точний скінченновимірний розподіл оцінок параметрів.

При послаблені деяких з класичних припущень або при переході до інших моделей скінченновимірні властивості оцінок як правило, невідомі. В таких випадках для характеризації інший підхід, який грунтується на асимптотичній теорії. Асимптотична теорія відповідає на питання, що трапиться, якщо гіпотетично розмір виборки стане нескінченно великим. Асимптотичні властивості використовуються для апроксимації скінченновимірних властивостей. (Білет 26, 27).

26.Консистентність.

Послідовність оцінок параметра , де - розмір виборки, називається консистентною якщо збігаються за ймовірністю до справжнього значення параметра:

, тобто

На відміну від ситуації незалежної виборки тут нам знадобляться додаткові умови стосовно матриці значень незалежних змінних . Припустимо, що збігається до несингулярної матриці . Точці умови, що забезпечують збіжність , ми наводити не будемо. Зауважимо, що вони виконуються у більшості практичних ситуацій з просторовими даними й з стаціонарними числовими рядами.

Стосовно збурень достатньо двох припущень

Зауважимо, що умови консистеності не потребують припущень про рівність дисперсій і некорельованість збурень.

При виконанні уведених умов

.

Умова є значно слабшою у порівнянні з умовою про некорельованість всіх зі всіма а не тільки з , яка необхідна для забезпечення незміщенності. Так, наприклад, в моделі

оінки параметрів будуть зміщеними, але будуть консистентними, якщо

Кажучи, не зовсім строго, консистентність означає, що при зростанні розділу виборки ймовірність того, що оцінки будуть набагато відрізнятись від параметра прямує до нуля.

В багатьох випадках неможливо довести незміщеність оцінки, або, взагалі, незміщену оцінку знайти неможливо (наприклад, для нелінійних моделей, або моделей з лаговими значеннями залежної змінної серед регресорів, як в попередньому прикладі). В таких ситуаціях мінімальною вимогою до оцінок є консистентність. Зручною властивістю є наступна. Якщо і є неперервною функцією,то . Зауважимо також, що для консистентності як оцінки до уведених умов слід додати умову про рівність дисперсій збурень.

27. Асимптотична нормальність.Властивість асимптотичної нормальності дозволяє використовувати стандартні критерії перевірки гіпотез без припущення про нормальність збурень, оскількі відповідні статистики, приблизно, матимуть потрібні розподіли. Припустимо, що крім припущень, уведених у попередньому параграфі виконують припущення про рівність дисперсій і некорельованість збурень. Тоді збігається за розподілом до . Оскільки невідома матриця консистентно оцінюється за допомогою , а через , то на практиці приблизним розподілом b є