Шпора з економетрики

, (1.108)

внаслідок (1.102), (1.104) та (1.107). Виразимо коваріацію k-го порядку через коваріацію k–1-го порядку. Для цього домножимо рівність (1.98) почленно на i-k і обчислимо математичне сподівання обох частин

(1.109)

внаслідок (1.102) та (1.105). Рекурентною підстановкою (1.109), враховуючи (1.108), одержуємо

(1.110)

Формули (1.107) і (1.110) показують, що дисперсія та коваріації процесу авторегресії першого порядку визначаються лише двома параметрами –  та 2.

37.Узагальнений МНК у випадку AR(1)-збурень

Нехай в моделі (1.94) збурення підпорядковані процесу авторегресіїї першого порядку. Це означає, що збурення i , задовольняють співвідношенням (1.98)-(1.105). З (1.107) і (1.110) випливає, що коваріаційна матриця збурень приймає наступний вигляд

(1.111)

Елементи вектора y*дорівнюють

, (1.112)

. (1.113)

Елементи j-го ( ) стовпчика матриці X* знаходяться аналогічно:

, (1.114)

. (1.115)

Якщо у вихідній моделі є постійний доданок, то перетворена модель не матиме константи. Замість неї з’явиться змінна , значення якої дорівнюють

, (1.116)

. (1.117)

Зауважимо, що оцінка -коефіціента при змінній є оцінкою постійного доданку у вихідній моделі.

38. Виявлення автокореляції. Статистика Дурбіна-Ватсона

Найчастіше для виявлення автокорельованості збурень користуються критерієм Дурбіна–Ватсона. При застосуванні цого критерія нульовою гіпотезою є некорельованість збурень, а альтернативою є те, що збурення підпорядковані процесу авторегресії першого порядку. Позначимо через залишки методу найменших квадратів у моделі (1.94). Значення статистики Дурбіна–Ватсона знаходиться за наступною формулою:

. (1.118)Можливі значення d належать інтервалу (0; 4). Розподіл статистики Дурбіна–Ватсона приблизно симетричний відносно двійки. Значення d, близькі до 2, вказують на відсутність автокореляції. Значення, близькі до 0, вказують на наявність автокореляції з додатнім , значення, близькі до 4, вказують на наявність автокореляції з від’ємним  . Параметрами розподілу статистики Дурбіна–Ватсона є кількість спостережень та регресорів. Точний розподіл статистики залежить від матриці незалежних змінних Х. В таблицях приводяться такі пари критичних значень, що для будь-якого вигляду матриці Х точне критичне значення лежить між табличними. Алгоритм застосування критерія Дурбіна–Ватсона полягає у наступному.