Шпора з економетрики

(1.9)

– залишки методу найменших квадратів (аналогічно тому, як ми домовились щодо позначень оцінок методом найменших квадратів, замість загального позначення залишків , для залишків методу найменших квадратів будемо використовувати літеру e). Залишки можна вважати вибірковими, або емпіричними аналогами збурень. З урахуванням уведених позначень перше нормальне рівняння запишеться у вигляді

(1.10).

Отже, сума залишків методу найменших квадратів дорівнює нулю.

Друге нормальне рівняння прийме вигляд

(1.11).

Або, якщо позначити через x вектор значень незажної змінної, а через e вектор залишків:

, ,то . Тобто, залишки методу найменших квадратів ортогональні до регресора.

6. Розклад дисперсії залежної змінної. Коефіціент детермінації

З рівнянь (1.8) та (1.9) випливає, що

(1.12)

Запишемо другу з формул (1.7) у вигляді

(1.13)

Від кожного з рівняннь (1.12) віднімемо рівняння (1.13):

(1.14)

Кожне з рівнянь (1.14) піднесемо до квадрату і додамо почленно. Маємо

, (1.15)

внаслідок (1.10) та (1.11). Позначимо . З (1.10) випливає, що . Тому

.

Порівнюючи останнє рівняння з (1.14), бачимо, що

,

отже

.

Уведемо такі позначення: