Шпора з економетрики

Оцінювання дисперсії ММП-оцінок.

У багатьох випадках другі похідні логарифму функції правдоподібності мають досить складний вигляд, тому знайти їх математичні сподівання виявляється неможливим. На практиці використовують два способи. Перший полягає в обчислені відповідних похідних при значеннях аргументів, які дорівнюють ММП-оцінкам

.

Друга оцінка грунтується на тому, що математичне сподівання матриі других похідних дорівнює коваріаційній матриці перших похідних:

де

45.Три асимптотично еквівалентні критерії перевірки гіпотез.

1.Критерій відношення правдоподібності (LR).

Нехай -вектор параметрів моделі. Нехай гіпотеза визначає сукупність обмеженнь на значення параметрів. Нехай - ММП-оцінка, знайдена в моделі без обмежень, - ММП-оцінка, знайдена в моделі з обмеженням. Нехай означають значення функцій правдоподібності для необмеженої і обмеженої моделей, знайдені в точках відповідно . При виконанні достатньо необмежливих умов регулярності статистика

асимптотично має розділ - квадрат з кількістю степенів свободи, рівною кількості обмежень. Недоліком критерія є необхідність оцінювати модель в обох випадках – без обмежень і з обмеженнями.

2.Критерій Вальда.

Запишемо гіпотезу про сукупність обмежень у такому вигляді За умови, що обмеження вірні. Статистика Вальда

.

асимптотично має розподіл -квадрат з кількістю степенів свободи, рівною кількістю обмежень (тобто кількості рівнянь в ). Зауважимо, що у випадку коли обмеження є нелінійними, то коваріаційну матрицю оцінюють наступним числом

,

де ,

тобто рядок матриці С складають похідні обмеження відносно всіх елементів . У випадку лінійних обмежень . статистика Вальда набуває вигляду

.

Кількість степенів свободи дорівнює кількості рядків в матриці R. Критерій можна застосувати не тільки для ММП-оцінок, але і для будь-яких консистентних асимптотично нормальних оцінок. Для перевірки гіпотези потрібно мати оцінки тільки в моделі без обмежень. Недоліком критерія є неінваріантність його статистики відносно форми запису обмежень.

3.Критерій множників Лагранжа (LM).

Як і в попередньому випадку запишемо гіпотезу у вигляді. Для застосування цього критерію, потрібно знати оцінку в моделі з обмеженнями і записати функцію правдоподібності в моделі без обмеженнь. Статистика критерію