Шпора з економетрики

15. Статистичні вл-ті оцінок МНК

Обчислимо математичне сподівання оцінок методу найменших квадратів. Підставимо формулу (1.30) до формули (1.34):

1.43)

Маємо

,

оскільки лінійний множник можна виносити за знак математичного сподівання, і E = 0. Отже, МНК-оцінки є незміщеними. Знайдемо коваріаційну матрицю оцінки b:

Db = E(b- Eb)(b- Eb)T = E(b-)(b-)T =

=

.

Ми скористались властивостями математичного сподівання, добутку транспонованих матриць, формулою (1.31), а також тим, що матриця XTX, а отже і обернена до неї, симетричні.

(1.44)

Позначимо матрицю через . Тоді

(1.45)

Наведені формули не можна використовувати для перевірки гіпотез та інтервального оцінювання, оскільки до них входить невідомий параметр – дисперсія збурень 2 . Отже, нам потрібно вміти знаходити її оцінку. Має місце наступний результат: статистика

, (1.46)де k – кількість регресорів, включаючи константу, є незміщеною оцінкою 2. Якщо збурення нормально розподілені, то b має багатовимірний нормальний розподіл, математичне сподівання і коваріаційна матриця якого обчислюються за формулою (1.44). Зокрема,

.

Величина

має 2 - розподіл з n - k ступенями свободи і не залежить від b. Оцінка коваріаційної матриці коефіціентів методу найменших квадратів одержується підстановкою до формули (1.44) виразу (1.46) замість дисперсії збурень 2:

, (1.47)

зокрема .

Позначимо через s.e.(bi) оцінку середньокватратичного відхилення коефіціента bi. (стандартнy похибку)

Розмірковуючи так, як у випадку простої регресії, приходимо до висновку, що