Шпора з економетрики

звідки

Таким чином, матриця перетворення є одиничною. Отже, , а

Ми показали, що функція правдоподібності має вигляд ,

а її логарифм

Запишемо необхідну умову існування екстремуму:

Одержані рівняння називаються рівняннями максимальної правдоподібності. Якщо розписати ці рівняння, неважко побачити, що спочатку знаходяться розв’язки відносно і , а потім відносно . Причому, знаходження розв’язку еквівалентно мінімізації виразу

,

який є знайомою сумою квадратів залишків. Тобто ММП –оцінки параметрів регресії - і у випадку нормально розподілених збурень співпадають з оцінками найменших квадратів. В даному випадку функцію спільної щільності можна було записати безпосередньо, враховуючи той факт, що і незалежні. Другий підхід зручніше використовувати, якщо спостереження залежної змінної незалежні, а перший – якщо залежні.

Процес АR(1).

Нагадаємо, що модель має вигляд

,

де , а і мають розподіл . Від перейдемо до Зауважимо, що і незалежні. Для , тому Якобіан перетворення має вигляд .

Отже,

Асимптотичні властивості ММП-оцінок.

Широкому використанню в економетриці ММП завдячує саме cвоїм асимптотичним властивостям. Позначимо через ММП-оцінку .

1.Консистентність: . Через plim позначено границю за ймовірністю.2.Асимптотична нормальність , де символ “ ” означає збіжність за розподілом, N(m, ) – багатовимірний нормальний розподіл з вектором математичних сподівань m і коваріаційною матрицею . Через I() позначено інформаційну матрицю:

.

3.Асимптотична ефективність. ММП-оцінки досягають границі Крамера-Рао для консистентних оцінок:

,

де через AsyVar позначається асимптотична каріаційна матриця.

Слід підкреслити, що точні скінченновимірні властивості ММП-оцінок, як правило, є невідомими, і в деяких випадках, ці оцінки не є найкращими для малих виборок.

4.Інваріантність. Якщо є неперервною функцією, то є ММП-оцінкою .