Шпора з вищої математики

.

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах  і r,

де x=r cos, y=rsin має вигляд:

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:, r1()rr2(), то

4. Якщо =(х, у) – поверхнева густина пластини S, то її

маса є (2)

25

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при =1 отримуємо формулу площі пластинки

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:

,

де =(х, у) – поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за

формулами: , , (3)

де m – маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо =1.

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:

, ,

де =(х, у) – поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V, називається число:

, (4)

де (xi, yi, zi) є Vi (i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок Vi .

Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює обєм V.

9. Обєм тіла V дорівнює: .

10. Якщо область інтегрування V визначається

26