Шпора з вищої математики

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розвязки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1(х)=0 і У1(у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розвязуються за допомогою підстановки y=ux (u – нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y+b(x)y+c(x)=0

можна розвязати за допомогою підстановки y=uv,

де u – не нульовий розвязок однорідного рівняння

a(x)y+b(x)y=0, а v – нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y=f(x), то загальний розвязок:

;

б) якщо y=f(у), то загальний інтеграл:

;

в) якщо y=f(у), то загальний інтеграл рівняння можна

21

знайти з співвідношення: , де у=р.

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у=f(x, y), то приймаючи у=р(х), отримуємо:

;

б) якщо у=f(у, y), то приймаючи у=р(у), отримуємо:

.

6. Загальний розвязок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у+р(х)у+q(x)y=0 має вигляд