Теплові властивості твердих тіл

Оскільки E н.к = E н.о, то енергія нормальних коливань решітки повинна визначатися виразом (15), а їх енергетичний спектр повинен співпадати із спектром, показаним на (рис.3).

Мінімальна порція енергії, яку може поглинути або випустити решітка при теплових коливаннях, відповідає переходу порушуваного нормального коливання з даного енергетичного рівня на найближчий сусідній рівень і рівна:

(17)

Цю порцію, або квант енергії, теплових коливань решітки називають фононом..

Для пояснення приведемо наступну аналогію. Порожнина абсолютно чорного тіла заповнена рівноважним тепловим випромінюванням. З квантової точки зору це випромінювання трактується як газ, утворений квантами світла — фотонами, що володіють енергією E = hw і імпульсом p =hw/c , де с — швидкість світла.

Так само поле пружних хвиль, що заповнюють кристал, можна трактувати як газ, утворений квантами нормальних коливань решітки — фононами, що володіють енергією Eф = hw і імпульсом:

(18)

Рис.4.

де v — швидкість звуку, — довжина пружної звукової хвилі.

З цієї точки зору нагрітий кристал можна уподібнити ящику, заповненому фононним газом. Аналогія простежується і далі.

Фонони описуються тією ж функцією розподілу Бозе — Ейнштейна, що і фотони:(19)

Залежно від ступеня збудження нормального коливання воно може «випускати» те або інше число однакових фононів. Так, якщо нормальне коливання збуджене до 3-го рівня (рис.3), то його енергія EЗ. = (3+1/2)hw; це означає , що дане нормальне коливання «породило» три однакові фонони з енергією Е ф = hw кожен. На( рис.4, а) показаний графік функції розподілу f(E) фононів по енергіях (частотам). З графіка видно, що при даній температурі T в решітці збуджуються всі нормальні коливання аж до коливань з енергією hw = kT; коливання з вищими частотами, яким відповідають кванти енергій hw > kT, практично майже не збуджуються. Це наочно видно з (рис.4, б). Горизонтальними рисками тут зображені енергетичні спектри нормальних коливань, що мають частоти w1 = kT/8h, w2 = kT/4h, w3 = kT/2h,w4 = kT/h і w5 = 2kT/h; пунктиром показаний рівень, що відповідає енергії kT.

З (рис.4,б) витікає, що при даній температурі T коливання з частотою w1 збуджене приблизно до 8-го рівня. Як говорилося раніше, це означає, що таке нормальне коливання «породжує» в середньому вісім однакових фононів з енергією hw1 = kT/8 кожен. Нормальне коливання з частотою w2 збуджене приблизно до 4-го рівня; з частотою w3 — до 2-го; з частотою w4, квант енергії якого hw4 = kT, збуджено приблизно до 1-го рівня; коливання ж з частотою w5 вимагає для свого збудження такої високої енергії hw5, що при температурі T воно збуджується лише дуже слабо. Ще слабкіше збуджуються вищі частоти. Тому приблизно можна вважати, що при даній температурі T<О в твердому тілі збуджуються нормальні коливання аж до частоти w, якій відповідає енергія hw = kT.

Згідно визначенню, функція розподілу f (E) виражає середнє число фононів, що володіють енергією Е ф = hw. Тому, множачи формулу на hw, одержимо середню енергію Eн.к збудженого нормального коливання, що має частоту w:

(20)

Розділ ІІІ. Теплоємність та теплопровідність

3.1 Теплоємність твердого тіла