Теплові властивості твердих тіл

(2)

На (рис.1,г) показана залежність частоти нормальних коливань, що виникають в лінійному ланцюжку однорідних атомів, від хвильового вектора q. При зростанні від 0 до π/а частота нормальних коливань збільшується і при q = π/а, тобто при = 2а, досягає максимального значення, рівного wмакс = πv/a. Подібного роду криві, які виражають залежність частоти коливань від хвильового вектора (довжини хвилі), називаються дисперсійними кривими.

Розглянемо тепер ланцюжок, що складається з атомів двох сортів, що правильно чергуються один за одним (рис.2, а). Позначимо масу важчих атомів М, легших т. У такому ланцюжку можлива поява двох типів нормальних коливанні, показаних на (рис.2, б, в.). Коливання 2, б нічим не відрізняються від коливань однорідного ланцюжка: сусідні атоми коливаються практично в одній фазі і при q = 0, wак = 0. Такі коливання називаються акустичними, оскільки вони включають весь спектр звукових коливань ланцюжка. Вони виконують основну роль у визначенні теплових властивостей кристалів — теплоємності, теплопровідності, термічного розширення і т.д. У разі нормальних коливань, показаних на (рис. 4.2, в,) сусідні атоми коливаються в протилежних фазах. Ці коливання

Рис.2

можна розглядати як коливання один щодо одного двох підрешіток з однорідних атомів, вставлених одна в іншу. Їх називають оптичними коливаннями, оскільки вони виконують основну роль в процесах взаємодії світла з кристалом.

На ( рис.2, г) показані дисперсійні криві для акустичних 1 і оптичних 2 нормальних коливань ланцюжка, що складається з двох сортів атомів. Тоді як для акустичних коливань частота росте із зростанням хвильового вектора і досягає максимального значення при q макс = п/(2а), для оптичних коливань w мак. має місце при q = 0; із зростанням q частота цих коливань зменшується і стає мінімальною при q макс. = п/ (2а ).

Оптичні коливання виникають не тільки в ланцюжку, що складається з різнорідних атомів, але і у тому випадку, коли ланцюжок складається з двох і простіших ланцюжків, складених з однакових атомів і вставлених один в одного, як показане на (рис.2, д). У елементарному осередку такого ланцюжка міститься два атоми. Оптичні коливання виникають в результаті коливань однієї підрешітки щодо іншої.

2.2. Спектр нормальних коливань решітки

Одним з основних питань теорії коливань решітки є питання про розподіл нормальних коливань по частотах. Розглянемо спочатку простий випадок нормальних коливань лінійного ланцюжка атомів (див.рис.1).

Довжини хвиль нормальних коливань, які можуть виникати в такому ланцюжку, рівні :

(3)

де L — довжина ланцюжка, N — число атомів в ній.Число нормальних коливань z з довжиною хвилі, рівної або більшої n.

(4)

Аналогічним чином число стоячих хвиль в тривимірному кристалі об'ємом V (наприклад, в кубі з ребром L і об'ємом V ),які мають довжину, рівну або більшу , повинне бути рівно:

(5)

Більш строгий розрахунок показує, що

(6)

Звідки