Теплові властивості твердих тіл

Область низьких температур (T<<θ). Для таких температур верхня межа інтегрування в (30) можна замінити нескінченністю.

Враховуючи, що

одержимо:

(31)

Диференціюючи (31) по температурі, знайдемо

(32)

Ми одержали закон. Дебая, згідно якому у області низьких температур теплоємність решітки змінюється пропорційно кубу температури.

Область високих температур. Для таких температур x мало, внаслідок чого в розкладанні е* = 1+x+ ... можна обмежитися першими двома членами. Тоді

(33)

Теплоємність кристала

(34)

Для одного моля одноатомної речовини NA = 6,06-10 23 моль 1 (постійна Авогадро), NAk = R=8,3 Дж/(моль*К) — універсальна (молярна) газова постійна.

(35)

Співвідношення (35) виражає закон Дюлонга і Пті, встановлений ними ще в 1819 р.

На (рис.5) суцільною лінією показана теоретична крива залежності теплоємності твердих тіл від температури, крапками — експериментальні дані для срібла, алмазу, алюмінію, міді і кам'яної солі. Відповідність теорії з дослідом цілком задовільна не тільки з якісної, але і з кількісної сторони.

Рис.5

Знаючи температурну залежність енергії решітки, легко встановити, принаймні, якісно, залежність концентрації фононного газу від температури, тобто числа фононів nф, збуджених в одиниці об’єму кристала.

У області низьких температур, в якій енергія решітки Eреш ~T, а енергія фонона hw kT ~ Т, концентрація фононного газу повинна бути пропорційна Т3:

В області високих температур, в якій Eреш ~ Т, а енергія фононів досягає граничного значення hw/ кQ , не залежного від Т, концентрація фононного газу повинна бути пропорційна Т:

3.2. Теплоємність електронного газу.

У металах крім іонів, які утворюють решітку і коливаються біля положень рівноваги, є вільні електрони, число яких в одиниці об’єму приблизно таке ж, як і число атомів. Тому теплоємність металів повинна складатися з теплоємності решітки Среш, і теплоємності електронного газу Ср: