Теплові властивості твердих тіл

(36)

Якби електронний газ був звичайним класичним (не виродженим) газом, то кожен електрон володів би середньою енергією теплового руху, рівної 3кТ/2, і енергія електронного газу, укладеного в одному молі металу, була б рівна

(37)

а його теплоємність

(38)

Загальна теплоємність металу у області високих температур в цьому випадку повинна була б бути рівною

(39)

Насправді ж метали, як і діелектрики, у області високих температур, в якій виконується закон Дюлонга і Пті, володіють теплоємністю Сv= 25 Дж/(моль* К), що свідчить про те, що електронний газ не вносить помітного внеску в теплоємність металів.

* Якщо бути конкретним, для підрахунку концентрації фононного газу необхідно знати середню енергію фононів E ф у області низьких і високих температур, оскільки енергія решітки рівна добутку середньої енергії фононів на їх концентрацію. Обчислення E ф приводить до наступних результатів:

— для областей низьких температур;— для області високих температур.

Це і виправдовує якісно одержані залежності nф(Т), що передаються формулами (36) і (37).

Ця обставина, зовсім незрозуміла з класичної точки зору, знайшла природне пояснення в квантовій теорії.

Насправді, електронний газ в металах є виродженим і описується квантовою статистикою Фермі—Дірака. При підвищенні температури металу тепловому збудженню піддаються не всі електрони, а лише незначна їх частка N, розташована безпосередньо біля рівня Фермі (див. рис.6). Число таких електронів визначається наближеним співвідношенням:

(40)

де Ef — енергія Фермі.

Кожен електрон, що піддається термічному збудженню, поглинає енергію порядку kT, як і частинка звичайного газу. Енергія, що поглинається всім електронним газом, рівна добутку kT на число електронів N, що переносять термічне збудження:

(41)

Теплоємність електронного газу рівна:

(42)

Більш розрахунок приводить до наступного виразу для Се:

(43)

Порівнюючи (40) і (43), знайдемо