Теплові властивості твердих тіл

Опис процесу розсіювання нормальних коливань один на одному зручно вести на мові фононів, розглядаючи термічно збуджений кристал як ящик, заповнений фононами. У гармонійному наближенні, в якому нормальні коливання решітки є незалежними, фонони утворюють ідеальний газ (газ не взаємодіючих фононів). Перехід до ангармонічних коливань еквівалентний введенню взаємодії між фононами, в результаті якого можуть відбуватися процеси розщеплювання фонона на два і більш і утворення одного фонона з двох. Такі процеси прийнято називати фонон-фононним розсіюванням. Вірогідність їх протікання, як і вірогідність протікання будь-яких процесів розсіяння, характеризують ефективним перерізом розсіюванн. Якщо по відношенню до процесів розсіяння фонон представляти у вигляді кульки радіусом rф . Розсіювання фонона фононом може відбутися лише в тому випадку, якщо вони зближуються на відстань, при якому їх ефективні перерізи починають перекриватися. Оскільки розсіювання з’являється в результаті ангармонічності коливань атомів, кількісною мірою якої є коефіцієнт ангармонічності g, то природно покласти радіус ефективного переріза фонона пропорційним g.

Знаючи ефективний переріз розсіяння, можна обчислити довжину вільного пробігу фононів, тобто та середня відстань, яку вони проходять між двома послідовними актами розсіювання. Розрахунок показує, що

(55)

де nф — концентрація фононів.

У кінетичній теорії газів показується, що коефіцієнт теплопровідності газів рівний:

(56)

де — λ довжина вільного пробігу молекул газу, v — швидкість їх теплового руху, Cv — теплоємність одиниці об’єму газу.

Застосуємо цю формулу до фононного газу, підставивши в неї Cv — теплоємність одиниці об’єму кристала (фононного газу), довжину вільного пробігу фононів і замість v — швидкість звуку (швидкість фононів). Тоді одержимо наступний вираз для коефіцієнта теплопровідності решітки:

(57)

Підставивши сюди (51), знайдемо

(58)

У області високих температур, nф ~ T, тому

(59)

Оскільки в цій області Cv практично не залежить від T, то коефіцієнт теплопровідності решітки повинен бути обернено пропорційним абсолютній температурі, що якісно узгоджується з дослідами. У (55) входять також коефіцієнт ангармонічності g і швидкість звуку v, які істотно залежать від жорсткості зв'язку, діючого між частинками твердого тіла. Із зменшенням жорсткості зв'язку і зменшується, а g збільшується, оскільки ослаблення зв'язку приводить до зростання (при даній температурі) амплітуди теплових коливань і сильнішого прояву їх ангармонічного характеру. Обидва ці чинника повинні викликати, згідно (55), зменшення Треш. Це підтверджується дослідом. Як приклад в (табл.2) приведені теплота сублімації Qc, що є мірою енергії зв'язку, і гратчаста теплопровідність валентних кристалів з решіткою алмазу, кремнію, германію. З даних (табл.2) видно, що зменшення енергії зв'язку при переході від алмазу до кремнію і германію супроводжується значним зменшенням решітчастої теплопровідності. Детальніший аналіз показує також, що сильно залежить від маси М частинок, зменшуючись із зростанням М. Цим значною мірою пояснюється те, що коефіцієнт решітчастої теплопровідності легких елементів, що знаходяться у верхній частині таблиці Менделєєва (В, С, Si), має величину порядку десятків і навіть сотень ватів на метр-кельвін; у елементів, що займають середню частину таблиці Менделєєва, падає до одиниць ват на метр-кельвін, а у важких елементів, розташованих в нижній частині таблиці, вже до десятих долей ватів на метр-кельвін.