Теплові властивості твердих тіл

Зміна потенційної енергії U(x) частинки описувалася б при цьому параболою a’bc’ (рис.7), рівнянням якої є

(45)

Ця парабола симетрична щодо прямої bd, паралельної осі координат і віддаленої від неї на відстані г0. Тому відхилення x1 і x2 були б однаковими по величині і середина розмаху AB співпадала б з положенням рівноваги О. Нагрівання тіла в цьому випадку не могло б викликати його розширення, оскільки із збільшенням температури відбувалося б лише збільшення амплітуди коливань частинок, а середні відстані між ними залишалися б незмінними.

Насправді ж потенційна крива abc є, як видно з ( рис.7), несиметричної щодо прямої bd: її ліва гілка ba підіймається значно крутіше за праву гілку bc. Це означає, що коливання частинок в твердому тілі є ангармонічними (негармонійними). Для обліку асиметрії потенційної кривої необхідно в рівняння (45) ввести додатковий член —gx/3, що виражає цю асиметрію (g - коефіцієнт пропорційності). Тоді вони приймуть наступний вигляд:

При відхиленні частинки 2 вправо (x> 0) член gx /3 віднімається з bx /2 і гілка bc йде похиліше гілки bc’; при відхиленні вліво (x< 0) член gx3/3 додається до bxz/2 і гілка ba йде крутіше за гілку ba’.

Несиметричний характер потенційної кривої призводить до того, що відхилення частинки 2 вправо і вліво виявляються неоднаковими: вправо частинка відхиляється сильніше, ніж вліво (рис.7). Внаслідок цього середнє положення частинки 2 (точка O1) вже не співпадає з положенням рівноваги О, а зміщується вправо. Це відповідає збільшенню середньої відстані між частинками на x.

Таким чином, є нагріванням тіла середні відстані між частинками повинні збільшуватися і тіло повинне розширятися. Причиною цього є ангармонічний характер коливань частинок твердого тіла, обумовлений асиметрією кривої залежності енергії взаємодії частинок від відстані між ними.

Виробимо оцінку коефіцієнта теплового розширення .

Середнє значення сили, що виникає при зсуві частинки 2 від положення рівноваги, рівне:

(46)

При вільних коливаннях частинки f = 0, тому gx = bx. Звідси знаходимо:

(47)

З точністю до величини другого порядку малості потенційна енергія частинки, що коливається, визначається співвідношенням (45), а її середнє значення рівне U(x) bx/2. Звідси знаходимо:

(48)

Підставивши це в (47), одержимо:

(49)

Крім потенційної енергії U(x) частинка, що коливається, володіє кінетичною енергією Ек причому U(x)=Ек.. Повна енергія частинки E = Ek+U(x)= 2U(x). Це дозволяє вираз для x переписати в наступному вигляді:

(50)

Відносне лінійне розширення, що є відношенням зміни середньої відстані x між частинками до нормальної відстані r 0 між ними, рівне: