Визначення оптимальних змішаних стратегій підприємств на базі теорії ігор

Крім того, доведено, що, якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної змішаної стратегії, то виграш залишається незмінним і рівним ціні гри V, незалежно від того, яких стратегій дотримується інший гравець, якщо тільки він не виходить за межі своїх активних стратегій. Тому, для досягнення найбільшого гарантованого виграшу другому гравцеві також необхідно дотримуватися своєї оптимальної змішаної стратегії.

2.1.5. Вирішення матричних ігор із змішаним розширенням методами лінійного програмування

Вирішення матричної гри із змішаним розширенням – це визначення оптимальних змішаних стратегій, тобто знаходження таких значень вірогідності вибору чистих стратегій для обох гравців, при яких вони досягають найбільшого виграшу.

Для матричної гри, платіжна матриця якої показана на рис. 3, Vн  Vв, визначимо такі значення вірогідності вибору стратегій для гравця 1 (p1, p2, ..., pm) і для гравця 2 (q1, q2, ..., qn), при яких гравці досягали б свого максимально гарантованого виграшу.

Якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то, по умові завдання, його виграш не може бути менше ціни гри V. Тому дане завдання може бути представлена для гравців у вигляді наступних систем лінійних нерівностей:

Для першого гравця:

Для другого гравця:Щоб визначити значення V, розділимо обидві частини кожного з рівнянь на V. Величину pi/V позначимо через xi, а qj/V – через yj.

Для гравця 1 отримаємо наступну систему нерівностей, з якої знайдемо значення 1/v:

Для гравця 1 необхідно знайти максимальну ціну гри (V). Отже, значення 1/V повинне прагнути до мінімуму.

Цільова функція завдання матиме наступний вигляд:

min Z = min 1/V = min (x1 + x2 + … + xm)

Для гравця 2 отримаємо наступну систему нерівностей, з якої знайдемо значення 1/v:

Для гравця 2 необхідно знайти мінімальну ціну гри (V). Отже, значення 1/V повинне прагнути до максимуму.

Цільова функція завдання матиме наступний вигляд:

max Z = max 1/V = max (y1 + y2 + ... + yn)

Всі змінні в даних системах лінійних нерівностей повинні бути ненегативними: xi = pi/V, а yi = qj/V. Значення pi і qj не можуть бути негативними, оскільки є значеннями вірогідності вибору стратегій гравців. Тому необхідно, щоб значення ціни гри V не було негативним. Ціна гри обчислюється на основі коефіцієнтів виграшів платіжної матриці. Тому, для того, щоб гарантувати умову позитивності для всіх змінних, необхідно, щоб всі коефіцієнти матриці були ненегативними. Цього можна добитися, додавши перед початком рішення завдання до кожного коефіцієнта матриці число K, відповідне модулю найменшого негативного коефіцієнта матриці. Тоді в ході рішення задачі буде визначена не ціна гри, а величина V* = V + K.

Для вирішення завдань лінійного програмування використовується симплекс-метод. В результаті рішення визначаються значення цільових функцій (для обох гравців ці значення співпадають), а також значення змінних xi і yj .

Величина V* визначається по формулі: V* = 1/z.

Значення вірогідності вибору стратегій визначаються: для гравця 1: Pi = xiV*, а для гравця 2: qi = yiV*.