Визначення оптимальних змішаних стратегій підприємств на базі теорії ігор

6 – вартість виконання операції в “нормальному” режимі;

2. Теоретична частина

2.1. Теорія ігор

2.1.1. Поняття про ігри і стратегії

Гра (у математиці) - це математична модель колективної поведінки, що ідеалізується: декілька гравців впливають на результат гри, причому їх інтереси різні.

Регулярна дія, що виконується гравцем під час гри, називається ходом. Сукупність ходів гравця, що здійснюються їм для досягнення мети гри, називається стратегією.

2.1.2. Запис матричної гри у вигляді платіжної матриці

У загальному вигляді матрична гра може бути записана наступною платіжною матрицею (рис. 3.)

B1B2.Bn

A1A11A12...A1n

A2A21A22...A2n

.............

Amam1am2...amn

Рис. 3. Загальний вид платіжної матриці матричної гриде Ai – назви стратегій гравця 1, Bj – назви стратегій гравця 2, aij – значення виграшів гравця 1 при виборі ним i – й стратегії, а гравцем 2 – j – й стратегії. Оскільки дана гра є грою з нульовою сумою, значення виграшу для гравця 2 є величиною, протиставленою по знаку значенню виграшу гравця 1.

2.1.3. Поняття про нижню і верхню ціну гри. Вирішення гри в чистих стратегіях

Кожен з гравців прагне максимізувати свій виграш з урахуванням поведінки протидіючого йому гравця. Тому для гравця 1 необхідно визначити мінімальні значення виграшів в кожній із стратегій, а потім знайти максимум з цих значень, тобто визначити величину:

Vн = maxi minj aij ,

або знайти мінімальні значення по кожному з рядків платіжної матриці, а потім визначити максимальне з цих значень. Величина Vн називається максиміном матриці або нижньою ціною гри.

Величина виграшу гравця 1 рівна, за визначенням матричної гри, величині програшу гравця 2. Тому для гравця 2 необхідно визначити значення:

Vв = minj maxi aij .

Або знайти максимальні значення по кожному із стовпців платіжної матриці, а потім визначити мінімальне з цих значень. Величина Vв називається мінімаксом матриці або верхньою ціною гри.

У випадку, якщо значення Vн і Vв не співпадають, при збереженні правил гри (коефіцієнтів aij ) в тривалій перспективі, вибір стратегій кожним з гравців виявляється нестійким. Стійкості він набуває лише при рівності Vн = Vв = V. В цьому випадку говорять, що гра має рішення в чистих стратегіях, а стратегії, в яких досягається V, - оптимальними чистими стратегіями. Величина V називається чистою ціною гри, наприклад, в матриці (рис. 4).