Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Виведемо рівняння поширення збудження для цього випадку. Очевидно, що це будуть рівняння (4.12) із гамільтоніаном (4.2), де Hac = EacТак само, як і у випадку акустичних фононів, енергія квазічастинки матиме вигляд (4.10), а енергія взаємодії з оптичним фононом зміниться порівняно з (4.11) так:

Константу взаємодії квазічастинки з оптичним фононом ми позначили opt, щоб відрізнити від відповідної константи для акустичних фононів. Роль відносного зміщення молекул un-un-1 тепер грає загальне зміщення un/a кожної молекули.

Гамільтоніан оптичного фонона має вигляд (4.5), а саме .

Звідси загальний гамільтоніан матиме вигляд:

Диференціюванням цього гамільтоніана по n* у другому рівнянні системи (4.12)отримуємо перше шукане рівняння [6][7]:

(4.25)

Друге рівняння отримаємо так само, як ми свого часу отримували (4.15), підставивши гамільтоніан у друге рівняння системи (4.13):

Поділивши обидві частини на M, остаточно матимемо:

(4.26)

Рівняння (4.25)-(4.26) є шуканими і описують рух квазічастинки із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Їх точний аналітичний розв’язок невідомий, але, так само, як і рівняння (4.14)-(4.15), в континуальному наближенні вони дають солітонні розв’язки. Щоб показати це, достатньо отримати нелінійне рівняння Шредінґера, розв’язок якого вже відомий. У наступному пункті буде здійснено чисельне дослідження рівнянь (4.25)-(4.26), а зараз поки що перейдемо знову до неперервної моделі, використовуючи співвідношення (4.16). Тоді отримаємо:У першому рівнянні виконаємо фазове перетворення аналогічно до того, як ми це робили для акустичних фононів, тобто замінимо , звідки отримаємо:

(4.27)

Друге рівняння перепишемо так:

Так само, як ми це робили раніше, введемо заміну (4.18). Тоді маємо:

Для отримання стаціонарних розв’язків системи (4.25)-(4.26) розглянемо випадок малих швидкостей, коли v2/02 << 1. Тоді отримаємо

Позначимо . Тоді, підставивши значення u в (4.27), отримуємо нелінійне рівняння Шредінґера:

(4.28)

Як бачимо, воно нічим не відрізняється від аналогічного рівняння (4.19), отриманого для акустичних фононів, крім коефіцієнту gopt, що пропорційний до opt2, тобто фактично є константою взаємодії квазічастинки з деформацією. У залежності від значення цієї константи, збудження або рівномірно розподілиться по ланцюжку (делокалізований стан, гармонійні коливання), або утвориться автолокалізований стан, тобто солітон, у вигляді (4.24).

Частина ІІІ. Дослідження еволюції колективного збудження молекулярного ланцюжка із урахуванням взаємодії з айнштайнівськими оптичними фононами

Чисельне інтеґрування рівнянь, що описують поширення квазічастинки у полі оптичних фононів. Підготування рівнянь до чисельного інтеґрування.