Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Раніше ми вже зазначали, що гамільтоніан системи, що описує поширення збуджень у молекулярному ланцюжку, складається із гамільтоніана квазічастинки, гамільтоніана фононів і гамільтоніана взаємодії між ними. У співвідношенні (4.2) ми нехтуємо внутрішньомолекулярними коливаннями, і тоді загальний гамільтоніан матиме вигляд:

Як вже було зазначено, гамільтоніан акустичного фонона має вигляд (4.4). Гамільтоніан електрона має зміст суми кінетичної і потенційної енергії, він задається через хвильову функцію квазічастинки і має вигляд:

, (4.10)

де E0 – початкова енергія електрона, – енергія резонансної взаємодії (a - стала ґратки, d – дипольний момент) [3][4].

Нарешті, гамільтоніан взаємодії має вигляд:

, (4.11)

Склавши (4.4), (4.10) і (4.11), матимемо вираз для загального гамільтоніана системи:

де введено позначення – енергія деформації ланцюжка.

Цей гамільтоніан задовільняє гамільтонові рівняння:

де – узагальнені координати, – узагальнені імпульси. Тоді ці рівняння набудуть вигляду:

, (4.12)

Окрім того, поклавши q = un, p= pn, отримаємо другу систему рівнянь:

(4.13)

Підставимо вираз для гамільтоніана у друге рівняння (4.12) і продифереціюємо по n*:

, (4.14)

Це і буде перше шукане рівняння, що описує поширення квазічастинки (перші два члени правої частини) і взаємодії її з деформацією (третій член) [4].

Ліва і права частина цього рівняння мають розмірність енергії, і тому цілком очевидно, що перед нами закон збереження енергії квазічастинки. Рівняння для комплексно спряженої функції [перше з рівнянь (4.12)] є аналогічним до рівняння (4.14), але записаним у спряжених функціях, і тому його не розглядаємо. Зрозуміло, що одного рівняння для електрона недостатньо, потрібно ще рівняння для деформації. Його отримаємо, підставивши гамільтоніан у друге рівняння (4.13) і замінивши pn = Mun. Після спрощення отримаємо друге шукане рівняння [4]:

, (4.15)

Чисельне інтеґрування рівнянь (4.14)-(4.15) у роботах [4], [8] показало, що за певних умов в ланцюжку утворюються автолокалізовані стани квазічастинки, які було названо давидівськими солітонами . Давидов показав це, користуючись довгохвильовою (континуальною) моделлю [3][7]. Як було зазначено раніше, у випадку довгих хвиль середовище можемо вважати суцільним і покласти

(4.16)

де . Підставивши це в наші рівняння, здобудемо: