Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Отже, при поширенні квазічастинки ланцюжок деформується, і в ньому збуджуються акустичні та оптичні фонони. Звідси загальний гамільтоніан системи складається із енергії квазічастинки, енергії акустичних та оптичних фононів і енергії взаємодії електрона з деформацією ланцюжка (т. зв. електрон-фононна взаємодія) [2][3][7]:

(4.2)

В загальному випадку (урахування як акустичних, так і оптичних фононів) задача все ще не розв’язана. Використовуючи довгохвильове наближення, О. С. Давидов показав, що поширення колективних збуджень у одновимірному молекулярному ланцюжку за певних умов супроводжується утворенням локалізованих хвиль, що рухаються без випромінювання, а, отже, мають сталу енергію. Ця гіпотеза підтвердилась і при розгляді дискретної моделі, але точного аналітичного розв’язку для диференційних рівнянь, що описують поширення коливань із урахуванням акустичних фононів, знайдено не було, а утворення локалізованих станів було показано чисельними розрахунками Скоттом [8]. Дослідження поширення таких локалізованих хвиль було здійснено пізніше в роботах [4], [5] та інших.

Енольським і Давидовим розглянуто іншу модель, в якій акустичні коливання вважаємо малими і ними нехтуємо, оптичні коливання ж є суттєвими. Показано, що в довгохвильовому наближенні автолокалізовані стани утворюються також при взаємодії з цими коливаннями [6]. Дослідження дискретної моделі та знаходження розв’язків чисельним інтеґруванням рівнянь для оптичних фононів, буде розглянуто автором роботи.

Хвильова функція квазічастинки. Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів.

Хвильова функція квазічастинки

Принцип Гайзенберґа стверджує, що неможливо одночасно визначити точні координати та імпульс частинки: . Цей принцип і відрізняє квантову частинку від звичайної частинки у класичному розумінні. Хвиля не може бути локалізована в точці, а тому є сенс говорити про розподіл ймовірностей знаходження частинки у тій чи іншій точці простору. Цей розподіл зазвичай описують деякою функцією (x,t) , яка здобула назву хвильової функції квазічастинки. Ця функція є комлекснозначною, і її квадрат модуля * має зміст густини ймовірності знаходження квазічастинки у певній точці простору. Якщо ми знаємо, який вигляд має хвильова функція, ми зможемо описати її рух, а, отже, наша задача буде розв’язаною.

Таким чином, окрім рівнянь для зміщень на кшалт (3.1), ми повинні мати певні рівняння для (x, t).

Із властивостей густини ймовірності випливає, що інтеґрал по всьому простору D, що займає система, від * дорівнює одиниці (тобто квазічастинку завжди можна виявити у якійсь точці простору):

Це співвідношення називається умовою нормування [1]. У випадку такої дискретної системи, як наш ланцюжок, маємо дискретну хвильову функцію n(t), де n – порядковий номер молекули. Умова нормування для неї має вигляд:

(4.3)

де N – загальна кількість молекул у ланцюжку [2][3][7].

В лінійних задачах хвильова функція задовільняє принцип суперпозиції, що дозволяє пояснювати інтерференцію і дифракцію квазічастинок. Наразі більше нам нічого про неї знати не треба.

Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів

Квантова механіка оперує деякими величинами Bk+ і Bk-, які називають операторами створення і знищення фонона з хвильовим вектором k. Над фізичним змістом цих операторів ми задумуватись не будемо. Вважатимемо, що це деякі оператори, які відповідають створенню і знищенню деформацій у ланцюжку.