Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

c = a(w/M)1/2(3.4)

У загальному випадку поширення коливань у ланцюжку можна представити суперпозицією розв’язків на кшалт (3.1)). Для наших цілей достатньо взяти частинний розв’язок, що є суперпозицією двох протифазних хвиль з однаковою частотою:

Закріпимо крайні молекули в ланцюжку, взявши граничні умови u0(t) = un(t) = 0. Позначивши довжину ланцюжка l = (n-1)a і підставивши граничні умови, здобудемо:

uk1+uk2 = 0,

uk1e-iklt + uk2eklt = 0;

звідси маємо uk1 = -uk2, тоді e-iklt - eklt = 0, тобто sin kl = 0.

Маємо k = m/l або l = m/2, тобто на всьому ланцюжку маємо цілу кількість напівхвиль.

З урахуванням усіх викладів отримуємо вираз для зміщення у вигляді стоячої хвилі:

un = 2uksin kxn sin t, де k = m/l

Оскільки хвильовий вектор є обмеженим, то максимальне значення m = l/a = n – 1 при k=/a. Але насправді при m=0 i при m=n-1 всі молекули будуть мати однакове зміщення, а оскільки ми закріпили крайні молекули, то виходить, що um = 0 для всіх m. Тому маємо лише n-2 можливих коливань, якими представлено загальний рух ланцюжка.

Частина ІІ. Нелінійні моди. Поширення колективних збуджень з урахуванням взаємодії електрона з деформацією ланцюжка у довгохвильовому наближенні

Уточнення моделі поширення збуджень у молекулярному ланцюжку. Фонони і квазічастинки

Насправді, розглядаючи поширення збуджень у молекулярному ланцюжку, ми беремо до уваги не коливання окремих молекул, а увесь ланцюжок в цілому, оскільки в будь-якій його точці відбувається накладання збуджень, що надходять від усіх молекул, внаслідок чого формується певна хвиля, яка може бути періодичною й обходити ланцюжок декілька разів, або неперіодичною і руйнуватися з часом. Надалі нас цікавитимуть саме стійкі хвилі, енергія яких мало змінюється з часом, адже саме такі хвилі утворюються в реальних білкових спіралях (і не тільки) під час перенесення імпульсів чи енергії.

Не будемо глибоко вдаватися в структуру поліпептидного ланцюжка, додамо лиш до вищезапропонованої моделі молекулярного ланцюжка той факт, що амінокислоти з’єднані в єдиний ланцюжок за допомогою певних хімічних зв’язків. Розглянемо ситуацію, коли в ланцюжку є надлишковий електрон, та врахуємо його взаємодію з молекулами ланцюжка.

Згідно зі квантовомеханічними уявленнями кожен електрон з енергією E та імпульсом p має хвильові властивості, при чому частота і хвильовий вектор пов’язані із енергією та імпульсом таким чином:

E = ћ, p = ћk(4.1)

Хвилю, що переносить в ланцюжку (у загальному випадку, в будь-якому середовищі) енергію і імпульс, задані співвідношеннями (4.1), ми будемо надалі називати квазічастинкою [1]. Очевидно, що “зайвий” електрон, посаджений на певну молекулу, буде поширюватися (в якості хвилі) вздовж цього ланцюжка, деформуючи його при цьому. Коливання, що збуджуватимуться в ланцюжку внаслідок його деформації, ми будемо називати фононами. Фонони, які випромінюватимуться внаслідок зміщень молекул з положень рівноваги, ми будемо називати акустичними. У лінійному наближенні акустичні фонони відповідають коливанням, що задані рівнянням (3.1) і поводять себе так само, як звукова хвиля у суцільному середовищі [2][7].Якщо розглядати кожну молекулу ланцюжка як єдине ціле, то, власне, цим можна і обмежитись. Але ми прив’язали нашу модель до реального поліпептидного ланцюжка, кожна пептидна група якого містить 4 атоми. Фонони, які випромінюються внаслідок внутрішньомолекулярних коливань атомів, назвемо оптичними.