Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Звідси . Домноживши обидві частини на , отримаємо:

Інтеґруємо це співвідношення й після інтеґрування домножуємо обидви частини на 82:

де C – константа інтеґрування (її було перепозначено після домноження). Позначимо S=2, тоді SТоді маємо:

Оскільки ми шукаємо локалізовані у обмеженій області простору розв’язки, то амплітуда () на нескінченості повинна прямувати до нуля. Звідси звідки Для того, щоб це виконувалось, має бути B=C=0. Покладемо тоді:

Звідси маємо . Розділяючи змінні, маємо:

де 2x0 – константа інтеґрування. Інтеґруючи ліву частину і перепозначивши маємо:

Звідси (модуль опускаємо, оскільки справа завжди додатній вираз). Тоді маємо:

Підносимо обидві частини до квадрату, спрощуємо і знаходимо S:

У знаменнику бачимо косинус гіперболічний, тому остаточно . Звідси маємо:

Тепер знаходимо проінтеґрувавши (4.23), попередньо поклавши B=0:

Тут x1 – стала інтеґрування.

Остаточно матимемо:

(4.24)

Така хвиля називається солітоном [8], оскільки характеризується локалізацією в певній обмеженій області і рухається зі сталою швидкістю, яка є меншою за швидкість звуку в суцільному середовищі і дорівнює . Отже, за малих значень k, що допустимі в нашій моделі, швидкість солітона буде менша за швидкість звуку (3.4) [2][3][7].

У роботах [4], [5], [8], [9] здійснено чисельне інтеґрування рівнянь (4.14)-(4.15), що підтвердило справедливість континуальної моделі. Як виявилось, в такій моделі гранична швидкість руху солітона є меншою за швидкість звуку.

Нижче ми спробуємо більш детально здійснити аналогічні обчислення для оптичних фононів, отримати чисельними методами солітонні розв’язки та прослідкувати їх еволюцію в часі.

Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Континуальна модель. Зведення рівнянь до НРШ.

До цього ми розглядали рух квазічастинки в полі деформації ланцюжка, яка описується дисперсійним співвідношенням (4.8). При русі цієї частинки зі швидкістю, що менша за швидкість довгохвильового звуку, утворюються самотні хвилі, які рухаються зі сталою швидкістю і мають незмінну форму. Як вже було зазначено, такі хвилі називають солітонами. Тепер ми розглянемо дещо інший випадок, коли більш суттєвою є взаємодія електрона з оптичними фононами, а акустичні коливання є малими порівняно з внутрішньомолекулярними, і тому першими нехтуємо. Ми будемо розглядати модель взаємодії електрона з бездисперсійними айнштайнівськими фононами (модель Голстайна) [6][7], яка полягає в тому, що всі молекули вважаємо двохатомними і однаковими. Нехай дипольні моменти молекул будуть сталими або змінюватимуться незначно, тоді розглядатимемо тільки недипольні коливання із деякою частотою  Ці коливання характеризуються дисперсією (4.9), якою в даній моделі ми нехтуємо, вважаючи її незначною, поклавши v0=0.