Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Метою даної роботи є дослідження поширення колективних збуджень у білкових -спіральних молекулах, але отримані результати можна поширити і на інші молекулярні сполуки, що відповідають описаній моделі.

Будемо вважати, що коливання відбуваються однаково у трьох ланцюжках білкової спіралі, і тому достатньо розглянути лише один такий ланцюжок. Кожен ланцюжок є послідовністю з’єднаних між собою амінокислот, внутрішню структуру яких ми не розглядаємо, уявивши натомість, що кожна амінокислота є окремою молекулою, і пептидний ланцюжок розглядатимемо як молекулярний, при чому для спрощення вважаємо, що всі молекули однакові і в початковий момент часу розташовані на однаковій відстані a (цю відстань називають сталою ґратки) одна від одної.

Частина І. Лінійні моди коливань та їх поширення у одновимірному молекулярному ланцюжку

Для початку розглянемо більш спрощену класичну модель поширення коливань у одновимірному ланцюжку, що утворилися внаслідок певного зовнішнього збурення. Ця модель докладно описана в [1].

Розглядатимемо наближення найближчих сусідів, тобто будемо вважати, що на кожну молекулу діють сили тільки збоку двох сусідніх (зліва і справа) молекул. Зміщення n-ї молекули з положення рівноваги позначимо un. При цьому виникають дві сили Fn, n+1 і Fn, n-1 відповідно. Вважаючи відносні зміщення (ui – ui-1) малими, можемо покласти ці сили квазіпружніми із деяким коефіцієнтом пружності wТоді повна сила F, що діє на n-у молекулу, дорівнюватиме:

Рівняння руху для цієї молекули має вигляд:

(3.1)

Знаходження загального розв’язку є досить складною процедурою, тому наразі будемо шукати частинний розв’язок при N  . У цьому випадку ланцюжок переходить сам у себе при зсуві на будь-яку цілу кількість періодів na. Очевидно, що розв’язок, який відповідає однаковим коливанням всіх молекул, при чому фаза кожної наступної змінюється на сталу величину по відношенню до попередньої молекули, задовільняє умови трансляційної симетрії і є розв’язком (3.1). Такий розв’язок описується пласкою монохроматичною хвилею:

(3.2)

При чому xn = na (n – ціле) набуває лише дискретних значень [1]. Оскільки хвиля поширюється тільки в N молекулах ланцюжка, то повинні виконуватись періодичні граничні умови (ланцюжок наче замкнений у кільце):

Підставляючи значення зміщень (3.2) у це співвнідношення, отримаємо , звідкиде m ¬– деяке напівціле число . Не порушуючи загальності, обмежимось інтервалом довжини 2/a, який називають зоною Бриллюена . Зокрема, покладемо m=N/2 і тоді k змінюватиметься у межах -/a  k  /a. Цей інтервал є основною зоною Бриллюена. Тоді довжина хвилі змінюється в межах 2a   < . Таким чином, у дискретному ланцюжку не розглядають хвиль із довжинами, меншими за 2a. І справді, поклавши l=a, маємо , тобто зміщення усіх молекул були б синфазними, тобто ланцюжок рухався б, як одне ціле, а це, в свою чергу, відповідає = із обраного нами інтервалу.

Цілком очевидно, що хвиля (3.2) задовільняє рівняння гармонійного осцилятора . Підставивши це значення другої похідної в (3.1) і врахувавши (3.2), здобудемо

(3.3)

Бачимо, що має місце дисперсія, адже фазова швидкість залежить від k. Групова швидкість хвилі дорівнює . При k=/a (=2a) v=0, і хвиля енергії не переносить.

За малих значень k (континуальне, або довгохвильове наближення) маємо , і тоді c=v=a(w/M)1/2 = const. У цьому випадку дисперсія зникає, і ланцюжок поводить себе як суцільне середовище. Формулу швидкості для цього випадку можна також здобути із формули для швидкості звуку в стрижні: c = (E/)1/2, де E – модуль Юнга, який знайдемо із виразу Fn, n-1 = E (un – un-1)/a, де (un – un-1)/a – відносний розтяг ланцюжка. Враховуючи із попередніх міркувань, що Fn, n-1 = w(un – un-1), маємо E = wa. Для одновимірного ланцюжка  = M/a, звідки й отримаємо