Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Для того, щоб чисельно проінтеґрувати рівняння (4.25)-(4.26), слід розділити дійсну і уявну частину, а також знерозмірити всі величини в рівнянні, оскільки з такими величинами простіше працювати. Виконаємо фазові перетворення, замінивши у рівнянні (4.25) . В результаті наша система рівнянь матиме вигляд:

Знерозміримо рівняння, поділивши першу рівність на ħ0. Другу рівність поділимо на 02, і в обох рівняннях замінимо unlun де l має зміст мірила і розмірність м-1. Тоді здобудемо шукані рівняння:

Тепер введемо позначення:

(3.1)

Тоді остаточно наші рівняння матимуть вигляд:

Для чисельного розв’язку задачі в друге рівняння введемо слабке тертя:

(3.2)

Додатково це буде пояснено пізніше, а зараз введемо ще одне позначення:

де  має зміст зведеного коефіцієнту тертя. Окрім того, для чисельного інтеґрування нам зручніше мати рівняння першого порядку по часу. Тому позначимо і розіб’ємо друге рівняння на два:

(3.3)

Повернемось до першого рівняння й позначимо:

де перший і другий члени мають зміст дійсної та уявної частини хвильової функції відповідно. Тоді перше рівняння системи матиме вигляд:

Очевидно, що ліва і права частини будуть рівні, коли рівні відповідні дійсні та уявні частини. Тоді наше рівняння розпадається на дві рівності від дійсних змінних. Враховуючи (3.3), запишемо шукану систему рівнянь:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Початкові та граничні умови. Інтеґрування рівнянь методом Рунґе-Кутта.

Розв’яжемо рівняння (3.4)–(3.7), застосувавши періодичні граничні умови [4][5]:

де N – кількість молекул у ланцюжку, нумерація молекул – від 1 до N. Крім того, при розрахунку першої молекули в рівняннях (3.4)-(3.5) з’явиться функція від молекули n=0. Уявивши собі ланцюжок у вигляді кільця, можна зрозуміти, що нульова молекула збігається з N-ою :

Початкові умови в момент =0, взагалі кажучи, невідомі, тому можна обрати їх довільними. Але зрозуміло, що вони будуть відрізнятися від справжніх початкових умов, які відповідають локалізованим станам, і довільне початкове збудження ми зводимо до потрібного стаціонарного розв’язку за рахунок штучного введення тертя (3.2). Тоді ми отримаємо “правильні” розв’язки, не знаючи, з якими початковими умовами вони насправді отримуються. Під час розрахунків зручно посадити збудження на молекулу n=N/2 (N беремо парним) і декілька сусідніх, і прослідкувати його еволюцію: