Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Гамільтоніани, що відповідають енергії акустичних і оптичних фононів, мають вигляд:

(4.4)

(4.5)

Де M – маса кожної молекули, – імпульс, (un – un-1) – відносне зміщення для акустичних фононів, un – сумарне зміщення для оптичних фононів, 0 – частота оптичних коливань. Зміщення і імпульс, спряжений до нього, пов’язані між собою співвідношенням:

(4.6)

Нехай зміщення, імпульс і оператор знищення задаються таким чином:

,

,

де – середнє значення амплітуди нульових коливань з частотою Ωk. Неважко переконатись, що співвідношення (4.6) задовільняється.

Підставивши ці значення у вираз для гамільтоніану (4.4) і застосувавши умови ортоґональності , отримаємо операторне представлення акустичного фонона:

(4.7)

де оператори Bk+ і Bk- задовільняють співвідношення:

Схожий вираз можна отримати й для оптичних фононів, але ми цього робити не будемо, оскільки їх буде розглянуто більш детально пізніше [7].

Частота коливань акустичних фононів залежить від хвильового вектора таким чином:

, (4.8)а в довгохвильовому наближенні sin (ka/2)  ka/2, звідки маємо . Фазова і групова швидкості у цьому випадку будуть сталі і дорівнюватимуть [3].

Бачимо, що акустичні фонони мають дисперсію звукових хвиль (достатньо порівняти (4.8) з (3.3) і повернутися до міркувань Частини І.

Оптичні фонони відрізняються від акустичних іншим законом дисперсії. Якщо для других у довгохвильовому наближенні , то перші задовільняють таке дисперсійне співвідношення:

, (4.9)

де v0 – мінімальна фазова швидкість фонона. Її наявність і відрізняє оптичні фонони від акустичних, у яких фазова швидкість є сталою (в континуальному наближенні). Фазова швидкість оптичних фононів змінюється від v0 до нескінченості [6].

Дисперсійні співвідношення (4.8)-(4.9) вважатимемо означенням акустичних і оптичних фононів відповідно.

Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з акустичними фононами. Континуальна модель. Солітони як розв’язки нелінійного рівняння Шредінґера.

Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з акустичними фононами. Континуальна модель.