Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Під і u ми розуміємо відповідні функції (x,t) та u(x,t). Перетворимо перше рівняння системи:

Замінимо . Підставивши у це рівняння цю заміну і спростивши його, отримаємо остаточно:

(4.17)

Друге рівняння системи ми перепишемо, знехтувавши другою похідною від хвильової функції квазічастинки, вважаючи її малою:

Тепер введемо заміну

(4.18)

де  – деяка дійснозначна функція. Тоді Звідси маємо

Проінтеґрувавши рівність по , отримаємо:

де C – константа інтеґрування. Величина має зміст деформації ланцюжка, яка створюється квазічастинкою й існує тільки там, де . Для того, щоб задовільнити цю умову, мусимо покласти C = 0. Тоді . Повернувшись до нашої заміни, а також згадавши з (3.4), що (де c – швидкість звуку в суцільному середовищі), маємо

Тут введено позначення s = v2/c2. Позначивши і підставивши значення ux у рівняння (4.17), отримаємо остаточно:

(4.19)

Це співвідношення називають нелінійним рівнянням Шредінґера (НРШ).

Солітони як розв’язки нелінійного рівняння Шредінґера.

Для того, щоб розв’язати рівняння (4.19), оберемо такі a i g, щоб . Зокрема, вибір константи g тепер однозначний: g = a2/2. Тоді нелінійне рівняння Шредінґера набуде так званої канонічної форми:

(4.20)

Будемо шукати розв’язок у вигляді [8]:

Тут – деякі функції. Тоді, підставивши це у рівняння (4.20) , здобудемо:Поділивши на експоненту та прирівнявши дійсну та уявну частину рівняння нулю, отримаємо систему рівнянь:

(4.21)

(4.22)

Розв’яжемо спершу рівняння (4.21), розділивши у ньому змінні:

Інтеґруючи, здобудемо (В – константа інтеґрування), звідки

(4.23)

Тут ми перепозначили B = -1/B2. Підставимо отримане значення у рівняння (4.22):