Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Розрахунки здійснено методом Рунґе-Кутта четвертого порядку, докладно описаному в [10], [11], [12]. Кількість рівнянь, які розраховувались одночасно, є змінною і дорівнює 4N (по 4 рівняння для кожної молекули, в загальному випадку кожне рівняння містить функцію від 4N+1 змінних, але реально – від 4 змінних). Обчислювались значення функцій

у кожен момент часу =0..T (T – кінцевий час еволюції, задається довільно) із заданим кроком . Похибка цього методу має порядок 4, і при обраному нами =0.05 отримували розв’язки із похибкою порядку 10-6 [10][12].

Для виконання обчислень було написано програму на мові PHP, яка створювала масив даних, з яких побудовано графіки за допомогою Microsoft Excell 2000. Код програми із коментарями та описом процесу розрахунків наведено у Додатку.

Результати чисельних обчислень

Розрахунки проводились для декількох значень коефіцієнта g0 при сталих інших параметрах:

Назва параметраЗначення

Кількість молекул в ланцюжку, N20

Кінцевий момент часу, T100

Крок, 0,05

Коефіцієнт j1

Коефіцієнт c00,8

Коефіцієнт тертя 2

Нагадуємо, що всі наведені в таблиці величини є безрозмірними.Дослід 1. g0=0,5. У початковий момент часу квадрат амплітуди хвильової функції має вигляд:

Графік 1. Квадрат амплітуди хвильової функції |n|2 у залежності від n в початковий момент часу.

З графіків 2-6 у різні моменти часу бачимо, що врешті-решт хвиля “розсипається”, перетворюючись на гармонійну, тобто збудження делокалізується і рівномірно розподіляється по молекулах ланцюжка. Чому так відбувається?

Графік 2. Квадрат амплітуди хвильової функції |n|2 у залежності від n при =0,8.

Графік 3. Квадрат амплітуди хвильової функції |n|2 у залежності від n при =1,8.

Зрозуміло, що система врешті-решт мусить прийти до стану рівноваги, і гармонійні коливання – це тривіальний стаціонарний стан, який ми і отримали. На графіку 4 видно, як збудження перейшло з центру до країв, а потім (графіки 5-6) рівномірно поширилось на всі вузли одновимірної ґратки (молекули ланцюжка):

Графік 4. Квадрат амплітуди хвильової функції |n|2 у залежності від n при =5.

Графік 5. Квадрат амплітуди хвильової функції |n|2 у залежності від n при =15.

Графік 6. Квадрат амплітуди хвильової функції |n|2 у залежності від n при =30.