Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь

Наприклад, рівнянню на проміжку задовольняють числа і 0.

Відповідь. .

За допомогою цього методу можуть бути розв’язані і більш складніші рівняння, наприклад,

де .

2.7 Застосування похідних до розв’язування рівнянь

Розглянемо декілька типів рівнянь, в яких використовуються похідні. Серед них рівняння, в яких потрібно вияснити, чи має розв’язок те чи інше рівняння. Ці рівняння зводяться до знаходження екстремальних значень функції або до знаходження їх областей значень.

Приклад 1. При якому значенні має розв’язки рівняння

.

Розв’язання. Область визначення даного рівняння – інтервал . Розглянемо на ній функцію f :

Тоді на інтервалі

,так що 8/3 єдина критична точка функції f , яка є дотого ж точкою максимум, оскільки f (2) = 2, f (4) = , f (8/3) = . Отже, f приймає найбільше значення при х = 8/3, а найменше значення – при х = 4. Так як функція f неперервна, то її область значень є інтервал між її найбільшим і найменшим значенням, тобто дане рівняння має розв’язок , якщо .

Відповідь.

Приклад 2. Скільки розв’язків має рівняння ?

Розв’язання. Область визначення даного рівняння – інтервал . Розглянемо на цьому інтервалі функцію f

Тоді .

Враховуючи область визначення, маємо . Таким чином, функція f зростаюча, так що дане рівняння не може мати більше одного розв’язку.

З іншого боку, взявши будь – яке велике значення х, наприклад,

х = 200, маємо так що f як неперервна функція приймає всі значення між і , в тому числі і значення 4. Відповідь. Рівняння має лише 1 корінь.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: . Побудувавши графіки функцій і ми помітили б , що рівняння має два корені. Безпосереднім підбором і перевіркою, знаходимо , що коренями рівняння є х = 0 і х = 2. За допомогою похідної можна довести, що інших коренів немає.

Розглянемо функцію і покажемо що в неї лише одна критична точка, тобто ця функція має лише 2 інтервали ( зростання і спадання) , отже має 2 корені, які ми вже знайшли.

існує на всій області визначення( )

Відповідь.