Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь

Теорема 2. Якщо в рівнянні функція зростає на деякому проміжку, а функція спадає на цьому самому проміжку ( або навпаки ), то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

Справді , якщо функція монотонна, то таке рівняння має лише один корінь, бо для монотонної функції нерівним значенням аргументу відповідають нерівні значення функції. Графічно це означає, що пряма лінія, паралельна осі абсцис( графік функції - константи), не може перетинати графік монотонної функції більше, ніж в одній точці.

Якщо - кусково – монотонна функція, то рівняння може мати не тільки більш як один корінь, але навіть нескінченне їх число, коли має нескінченне число проміжків монотонності. Проте їх не може бути більше, ніж число проміжків монотонності кусково – монотонної функції.

Приклад 1. Розв'язати рівняння: .

ОДЗ: .Функція f (x) = зростаюча і коли х = 243, набуває найменшого значення (243) = 3. Функція спадна на ОДЗ і, коли х = 243, досягає найбільшого значення .

, тобто х = 243 – єдиний корінь.

Тим часом поняття монотонності функції можна використати, розглядаючи питання про рівносильність широкого класу рівнянь. Так, на практиці, щоб дістати розв’язки рівнянь, нерідко доводиться брати одну й ту саму функцію від обох частин; порівняння значень складних функції , в яких зовнішня функція одна й та сама, - замінювати порівнянням значень внутрішніх функцій, тобто виконувати перехід: , скориставшись відомою теоремою : „ Рівняння і рівносильні, якщо їх області визначення однакові, а функція монотонна. ” Проілюструємо застосування даної теореми на прикладі.

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Запишемо це рівняння в такому вигляді: .

Оскільки областю визначення рівняння є множина всіх дійсних чисел і зовнішня функція монотонна, то воно буде рівносильним рівнянню , корені якого .

2.1.3. Використання обмеженості функції. Оцінка лівої і правої частин рівнянь.

Деякі рівняння можна розв’язати за допомогою оцінки лівої та правої частин рівняння. Даний прийом базується на такій властивості: нехай потрібно розв’язати рівняння виду f(x) = φ(x) і з’ясувалося, що то рівність між лівою і правою частинами можлива тоді і тільки тоді, коли одночасно дорівнюють а. Тобто

якщо то .

Приклад 1. Розв’язати рівняння

В даному рівнянні множина значень функції, що стоїть у лівій частині, множина невід'ємних чисел, а множина значень функції, що стоїть в правій частині, - множина не додатних чисел: = -

Тому це рівняння рівносильне системі

Звідси одержуємо єдиний корінь рівняння х = 1.

Аналогічно розв’язується рівняння виду

в якому всі функції - доданки невід’ємні. Очевидно, що в цьому випадку рівність обов’язково буде виконуватись, лише коли всі функції – доданки дорівнюють нулю. Тобто , сума кількох невід’ємних функцій дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі функції одночасно дорівнюють нулю. Розглянемо приклади.