Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь
3. Характерні помилки, що допускаються при розв'язуванні рівнянь.
Як свідчить практика, труднощі, з якими зустрічаються учні та абітурієнти під час розв'язування рівнянь, виникають в першу чергу із-за невміння інтенсивно, зосереджено працювати. Не маючи достатнього досвіду в розв'язуванні рівнянь, вони не вкладаються в відведений час, не встигають проаналізувати всі запропоновані і реалізовані методи розв'язування.
Відомо, що багато рівнянь допускають декілька різних прийомів розв'язання. Можна дати будь-яке правильне розв'язання. Хоч бажання знайти найбільш короткий і красивий шлях розв'язання вельми природне, відшукання такого шляху в умовах уроку чи під час зовнішнього оцінювання не можливо, тому що це може зайняти багато часу. Тому краще до кінця довести нехай довге, але надійне розв'язування. Крім того поспішність часто приводить до досадних арифметичних помилок, плутаниці знаків, описок і т.п. , що приводить до помилкової відповіді, хоч нерідко хід розв'язання був правильним. Хоча, якщо ви знаєте як розв’язати рівняння коротшим шляхом,і впевнені в його правильності, то чому б не зекономити час.
Відсутність чіткого уявлення про рівносильність рівнянь часто приводить до загублених коренів в процесі розв'язання рівнянь, або до одержання сторонніх коренів. Часто ліва і права частина рівняння множиться на спільний множник, що містить змінну, але якщо не врахувавши при цьому , що коли цей множник в області допустимих значень (ОДЗ) змінної перетворюється в нуль , то таке множення приводить до загублених коренів. Особливо часто ця помилка зустрічається під час розв'язування тригонометричних рівнянь.
Головна мета при розв'язуванні ірраціональних рівнянь - це позбутися ірраціональності. Вона досягається двома способами : піднесенням обох частин рівняння до відповідного степеня або заміною. Перший спосіб застосовується частіше, хоча останній часто значно спрощує перетворення.
Розв'язуючи ірраціональні рівняння, потрібно пам'ятати, що :
а) перевірка одержаних значень для невідомого в загальному випадку являється обов'язковою частиною розв'язку, так як при піднесенні в парну степінь обох частин рівняння можуть з'явитися сторонні корені;
б) в багатьох випадках сторонні корені можуть належати ОДЗ невідомого в початковому рівнянні, тому є помилкою винесення в відповідь усіх розв'язків рівняння, що належать ОДЗ, без їх перевірки. Взагалі кажучи, перевірку здобутих розв'язків потрібно робити при розв'язанні будь-яких рівнянь, якщо це пов'язано з виконанням складних перетворень. Наприклад, у рівнянні знаходження ОДЗ цього рівняння пов'язане з розв'язуванням систем ірраціональних нерівностей, тому в даному випадку цього робити не потрібно. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо : . Піднісши ще двічі до квадрату остаточно дістанемо квадратне рівняння 9x² - 64x – 64 = 0, корені якого , .
Перевіркою встановлюємо, що - сторонній корінь.
Під час розв'язання показникових рівнянь допускаються помилки , які свідчать про недостатні знання правил дій над степенями , властивості показникової функції.
Значне число помилок при розв'язуванні логарифмічних пояснюється нетвердими знаннями властивостей логарифмічної функції, правил логарифмування і потенціювання. Потрібно враховувати, що логарифмування, ділення, множення рівнянь на вирази, що містять невідомо величину, може привести до звуження ОДЗ і , а це означає до загублених коренів. Виключити сторонні корені можна перевіркою, знайти загублені корені складніше.
В багатьох немає чіткого уявлення про те, в яких випадках потрібно перевірка при розв'язуванні рівнянь, а в яких ні. Потрібно пам'ятати, що призначення перевірки - відкинути сторонні корені, які частіше всього проявляються при:
1)скороченні дробів на множники, що містять змінну.
Наприклад, скоротивши на (х+2) дробову частину рівняння і розв'язуючи його, одержимо х=-2 – це сторонній корінь;