Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь

.

Отже,

Обчислимо значення тригонометричних функцій за формулами:

.

Матимемо

, .

2.5. Графічне розв’язання рівняння четвертої степені.

Маючи чітко і точно накреслений графік звичайної параболи у = х2 , можна за допомогою циркуля і лінійки розв’язувати графічно рівняння четвертої степені. Щоб пояснити , як це робиться, сформулюємо слідуючи дві леми, якими потім скористаємось.

Л е м а 1. Рівняння четвертої степені

за допомогою заміни невідомого , де , зводиться до рівняння , що не містить куба невідомого, тобто до рівняння виду :

. (1)

Л е м а 2. Рівняння рівносильне системі рівнянь

де .

Тепер зрозуміло, що для знаходження коренів рівняння (1) потрібно

знайти абсциси точок перетину параболи і кола, що виражається рівнянням тобто кола з центром і радіусом . Якщо число від’ємне, а також якщо , але коло не перетинає параболу, то рівняння не має розв’язків. В противному разі рівняння має від 1 до 4 коренів, в залежності від числа точок перетину. Це і є графічний спосіб розв’язання рівняння четвертої степені.

Розглянемо приклад такого рівняння.

2.6. Про деякі тригонометричні рівняння

Дуже корисним під час розв’язування деяких тригонометричних

рівнянь частіше використовувати одиничне коло. Мова йде не тільки про

рівняння

,

але й про рівняння виду

(1)

Ці рівняння можна розв’язати багатьма способами. Але розв’язок цього рівняння за допомогою одиничного кола – один з способів, що дозволяє знайти відповідь усно. Кожному з рівнянь ( 1) на інтервалі задовольняє два з чотирьох чисел : що відповідають точкам одиничного кола. Ці числа знаходять усною перевіркою, потім записують загальний розв’язок. Інших розв’язків немає,так як для всякої іншої точки , відмінної від указаних , і по модулю рівні довжинам катетів трикутника, довжина гіпотенузи якого дорівнює 1, і за властивістю сторін ні одна з рівностей (1) неможливе.