Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь

Приклад 1. Розв'язати рівняння

ОДЗ: .

.

Маємо:

Звідси, х = 0.

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Задане рівняння рівносильне системі

З третього рівняння одержуємо х = 3, що задовольняє і всій системі.

Отже, задане рівняння має єдиний корінь х = 3.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Множина значень функції є інтервал ,

а функції є інтервал .

Оскільки спільні значення відсутні , то рівняння розв’язку не має.

2.1.4. Використання властивостей взаємнообернених функцій.

Розглянемо такі властивості взаємнообернених функцій :

Властивість 1.Якщо та взаємнообернені функції, то їх графіки симетричні відносно прямої y = х.

Властивість 2. Якщо графіки взаємнообернених функцій та перетинаються, то точки їх перетину лежать на прямій y = х.Властивість 3. Якщо та взаємно обернені функції, то рівняння рівносильне рівнянню або рівнянню g(x) = x.

Наприклад. Розв'язати рівняння:

Покладемо , тоді . Функції взаємно обернені. За властивістю 3, рівняння рівносильне рівнянню ; ,

Яке, у свою чергу, рівносильне рівнянню

.

Коренями останнього рівняння будуть числа 1, , .

Ці самі корені матиме і початкове рівняння .

2.2. Ведення параметра.

Цей спосіб полягає в тому, що сталу, яка входить до рівняння, сприймають як параметр і розв'язують рівняння відносно параметра.