Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь

Розглянемо рівняння .

Нехай .

Матимемо рівняння

Розв'яжемо його відносно а:

Один з коренів рівняння уже знайдено: х = .

Два інших знайдемо з рівняння .

Отже, розв'язками рівняння будуть числа: ; ; .

2.3. Допомагає геометрія.

Іноді доданки, що входять до складу рівняння, нагадують формули, якими записуються такі теореми, як теорема Піфагора, теорема косинусів тощо. Також часто використовується така важлива властивість скалярного добутку векторів: , ( , якщо || ).

Приклад 1. Розглянемо рівняння: .

Воно не має коренів, коли х≤0, оскільки значення лівої частини рівняння не менше ніж 2, а у правої частини стоїть число більше, ніж 2. Будемо шукати корені цього рівняння на множині додатних чисел. Тоді перший доданок можна розглядати, як довжину гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами 1 і х, а другий доданок – як довжину сторони трикутника, що лежить напроти кута з прилеглими до нього сторонами 1 і х. Побудуємо конструкцію, що відповідає лівій частині рівняння.

Нехай АО=ОВ=1, ОМ = х, = , ,

Тоді АМ= МВ = .

З нерівності трикутника випливає, що АМ+МВ АВ. Рівність досягається у випадку, коли точка М належить відрізку АВ. Оскільки

АВ = , то ОМ = ОК. В рівнобедреному . Тоді в трикутнику АОК ОК=АО tg = Отже, х =

2.4. Допомагає тригонометрія.

Під час розв'язування ірраціональних рівнянь іноді зустрічаються вирази, що нагадують тригонометричні тотожності. У таких випадках ефективно працює тригонометрична підстановка.

Наприклад, у рівнянні відзначивши, що покладемо, де ; .

Отримуємо рівняння або .

Розкриваючи модуль при ; , отримаємо sin ,

,

,

Виберемо лише ті значення , що задовольняють умову ;