Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь

Вивід формули розв'язування квадратних рівнянь в загальному вигляді є у Вієта, хоч Вієт признавав тільки додатні корені. Італійські математики Тартал'я, Кардана, Бомбеллі серед перших в XVI ст. враховують, крім додатніх , і від'ємні корені. Лише в XVII ст. дякуючи працям Жирара, Декарта, Ньютона і інших учених спосіб розв'язання квадратних та інших рівнянь набуває сучасний вигляд.

РОЗДІЛ 2.

Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь.

Усе частіше в літературі зустрічаються рівняння, розв'язування яких стандартними способами важке, громіздке або неможливе. Тоді можна спробувати використовувати властивості функцій. Іноді такий підхід приводить до більш простого і раціонального розв'язання .

Розглянемо рівняння . Його можна розв’язати стандартним способом – зведенням до квадратного рівняння. Але не важко помітити, що друге рівняння допускає нестандартне розв’язування: його корені - очевидні. А оскільки будь – яке квадратне рівняння має не більше двох дійсних коренів, то на цьому його розв’язування закінчується.

Або звернемось до рівняння до нього теж можна застосувати згаданий прийом, попередньо додавши до обох частин рівняння 3, одержимо або . Звідси,

Отож, розглянемо такі властивості функцій, що входять в рівняння як його складові, які б привели до нестандартного їх розв’язування та продемонструємо їх практичне застосування.

2.1. Використання області визначення та області значень функцій .

2.1.1. Скінченна область допустимих значень.Якщо область допустимих значень ( ОДЗ )рівняння складається із скінченого числа значень, то для розв’язування досить перевірити всі ці значення. У тому випадку, коли ОДЗ – порожня множина ( не містить жодного числа ), ми можемо зразу дати відповідь, що задане рівняння не має коренів. Тому перед безпосереднім розв’язанням рівняння, потрібно його проаналізувати, прослідкувати за поведінкою окремих членів рівняння для допустимих значень невідомої змінної.

Наприклад, якщо потрібно розв’язати рівняння , то його ОДЗ задається системою яка не має розв’язків.

Тобто, ОДЗ заданого рівняння не містить жодного числа, і тому це рівняння не має коренів.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

ОДЗ:

Область допустимих значень для змінної х складається тільки з числа 2. Легко перевірити, що х = 2 – корінь рівняння.

Перевірка

Отже, х = 2 – корінь рівняння.

2.1.2. Використання властивості монотонності функцій.

Вданому випадку спрацьовує така схема розв'язування: підбираємо один чи кілька коренів рівняння, доводимо, що інших коренів немає, при цьому використовуючи теореми про корені рівнянь , а саме :

Теорема 1. Якщо в рівнянні функція зростає ( спадає) на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.