Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь

2.8Про деякі цікаві рівняння з нескінченним числом квадратних радикалів.

В шкільному курсі алгебри і початків аналізу проходить знайомство з теоремою Вейєрштраса: якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має границю.

Розглянемо як дана теорема застосовується до розв’язування рівнянь з нескінченним числом квадратних коренів.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Піднесемо до квадрату обидві частини рівності :

Так як другий доданок співпадає з лівою частиною початкового рівняння, то

Відповідь. 42

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Піднесемо в квадрат обидві частини рівності, одержимо

Ще раз підносимо до квадрата

Оскільки другий доданок дорівнює 3, знайдемо

Можна також чергувати корені різного порядку. Наведемо приклади такого роду.

Приклад 3.

2.9. Розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля

Для розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше використовуються такі методи: за означенням модуля, піднесенням до квадрату лівої і правої частини, метод інтервалів. Але можна розв’язувати ці рівняння, використовуючи формулу відстані між двома точками координатної прямої.

Розглянемо цей прийом на прикладі

На числовій прямій потрібно знайти точки, сума відстаней яких від точок

х = - 5 і х = 8 дорівнює 16. Позначимо через у відстань, на якій знаходиться точка зліва від точки х = 5, одержимо допоміжне рівняння у + (у + 13) = 16 або у = 1,5, тобто х1 = - 6,5.

В середині інтервалу точок, що задовольняють рівняння, немає. Справа від точки х = 8 на відстані, що дорівнює 1,5, знаходиться друга точка, що задовольняє рівняння : х2 = 9,5.

Відповідь.

Використовуючи числову пряму можна встановити, що рівняння виду , де , якщо має 2 корені, причому ці корені знаходяться поза інтервалом . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів, причому розв’язком є інтервал . Якщо рівняння коренів немає.

Розглянемо приклади розв’язання рівнянь, що містять різницю модулів.