Нестандартні прийоми розв'язування рівнянь

.

На числовій прямій потрібно знайти різницю відстаней яких до точок х = - 4 і х = 2 дорівнює 5. Так як відстань між точками х = - 4 і х = 2 дорівнює 6, то шукана точка знаходиться в середині інтервалу .

Позначимо через у відстань від шуканої точки до точки х = - 4, одержимо

у – ( 6 - у) = 5, або у = 5,5, тобто х = 1,5.

Відповідь.

Порівнюючи відстань між точками числової прямої, легко встановити, що рівняння виду має один розв’язок, якщо ; в цьому випадку шукана точка знаходиться внутрі інтервалу . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів. Якщо рівняння коренів не має.

В тих випадках, коли коефіцієнти при х відмінні від 1, їх можна винести за знак модуля, а потім розв’язувати рівняння прийомом, поданим вище. Наприклад, рівняння запишемо у вигляді

На числовій прямій потрібно знайти точки, відстань яких від точки

х = 3 були в 4 рази менші, ніж від х = 5.

1)Нехай шукана точка знаходиться поза інтервалом зліва від точки

х = 3 на відстані у , тоді маємо рівняння 4у = у + 2, у =2/3, тобто х = .

2)Нехай шукана точка знаходиться внутрі інтервала на відстані z від точки 3, тоді маємо рівняння : 4z = 2 – z, звідки z = 2/5 , а х = .

Поза інтервалом справа від х = 5 рівняння коренів не має.

Відповідь.

Отже, розв’язуючи рівняння , що містять змінну під знаком модуля, вже на початковому етапі, склавши допоміжне рівняння, ми ще до розв’язання рівняння встановлюємо, в яких проміжках потрібно шукати корені і скільки коренів має рівняння.

Розглянемо ще два такі рівняння :

Приклад 1.

Рівняння можна переписати так :

.Так як , то розв’язком рівняння є весь інтервал .

Приклад 2. .

Маємо рівняння , яке має 2 корені : .

Відповідь.

Розділ 3