Варіаційні принципи теоретичної механіки

(26)

де штрих означає похідну по незалежній змінній s. У формулі (26) δx ́ , δt ́ можна обчислити за правилом тому що –похідні по незалежній змінній s. Тому

(27)

З формул (26) і (27) знаходимо

або, коли зробити заміну та виключити незалежну змінну s, яка вже відіграла свою допоміжну роль, дістанемо:

або

(28)

Ця формула і є узагальненням рівності (8) на випадок, коли варіюються обидві функції х і t. Аналогічно, вводячи незалежну змінну s, обчислимо варіацію інтеграла:

У правій частині підінтегральний вираз можна розглядати як складну функцію незалежної змінної s; межі інтегрування по змінній s вважаються фіксованими. За таких умов операції  і f комутативні [див. (13)]:

(29)

Обчисливши варіацію добутку двох функцій і підставивши це значення в (29), отримаємо:

(30)

Ця формула є узагальненням рівності (13) на випадок, коли змінна інтегрування варіюється.

Після встановлення двох нових формул (28) і (30) для варіацій продовжимо доведення принципу Ейлера — Лагранжа. На підставі (28) рівність (25) перепишемо так:

.

Використовуючи цю і дві аналогічні рівності, знайдемо з (24):

(31)

Третій і четвертий доданки можна переписати, використовуючи формули для кінетичної енергії системи та її варіації, а саме:

Відповідна заміна (в (31)) дає:

(32)

На підставі закону збереження енергії Т + V = Н знаходимо, що δV=δT. Ліву частину (32) перетворимо і тоді (32) буде:

(33)

Виключимо далі з лівої частини цієї рівності час на підставі закону збереження енергії: