Варіаційні принципи теоретичної механіки

Кожен варіаційний принцип механіки вказує ознаку, що відрізняє дійсний рух системи від інших рухів, що допускаються зв'язками, накладеними на точки системи, – рухів порівняння.

Щоб встановити цю ознаку відповідно до принципу Д'аламбера-Лагранжа, введемо поняття віртуальних переміщень.

Розглянемо невільну систему матеріальних точок.

Віртуальними переміщеннями точок системи називаються одночасні, миттєві, малі переміщення точок системи, що не суперечать зв'язкам.

З визначення видно, що віртуальні переміщення — поняття чисто кінематичне, тому що вони не залежать від сил, що діють на точки системи. Сили також не змінюються при наданні точкам системи віртуальних переміщень. Позначимо віртуальні переміщення .

З'ясуємо взаємозв'язок між віртуальними переміщеннями і дійсними переміщеннями, які точки системи здійснюють під дією прикладених сил. З цією метою введемо поняття можливих переміщень. На відміну від віртуальних переміщень вони відбуваються в часі. Розглянемо приклад.

Нехай кільце М, розглянуте як матеріальна точка, ковзає по стержню, що переміщується в просторі (рис. 2). Зв'язки, що змінюють своє положення в просторі зі зміною часу, називаються, як відомо, нестаціонарними. Оскільки стержень переміщується, для знаходження віртуальних переміщень кільця потрібно зупинити стержень, тобто розглянути положення його у фіксований момент часу. Віртуальні переміщення визначаються вектором, спрямованим по дотичній до стержня. Нехай за час ΔT стержень перемістився з положення І у положення ІІ. Кільце М при цьому займе положення М'. Переміщення називаємо можливим. Можливі переміщення також є довільними. Розходження між віртуальними і можливими переміщеннями обумовлено переміщенням стержня.

При нестаціонарних зв'язках дійсне переміщення збігається з одним зі можливих.

Якщо зв'язки не змінюють свого положення в просторі з часом, вони називаються, як відомо, стаціонарними. У випадку стаціонарних зв'язків розходження між віртуальними і можливими переміщеннями немає і дійсне переміщення системи збігається з одним з віртуальних. Принцип віртуальних переміщень є наслідком визначення віртуальних переміщень і деяких властивостей зв'язків.

Розглянемо такі види фізичних зв'язків: поверхня, абсолютно твердий стержень і гнучка нерозтяжна нитка. Ці три види зв'язків, різні по своїй фізичній природі, мають одну загальну аналітичну властивість.

Нехай зв'язком для системи η матеріальних точок є ідеально гладка поверхня. Відомо, що реакція такого зв'язку спрямована по нормалі до поверхні (див. рис. 3) у ту частину простору, що не містить речовини зв'язку.

Надамо точці системи Mi, можливе переміщення приймаючи до уваги непроникність речовини зв'язку. Кут між реакцією зв'язку і можливим переміщенням змінюється у межах . Тоді елементарна робота, виконана реакцією зв'язку на віртуальних переміщеннях, буде позитивною:

(а)

Написавши співвідношення (а) для всіх точок системи і просумувавши їх, одержимо

(b)

Знак нерівності має місце в тому випадку, коли можливе переміщення таке, що воно зводить точки системи зі зв'язку.

Зв'язок, який точки системи можуть залишити при наданні їм віртуальних переміщень, називається неутримуючим. Розглянута поверхня являє приклад такого зв'язку. Якщо на поверхню накласти ще одну поверхню, то точкам системи не можна надати переміщення, що усувають їх зв'язки.

Зв'язок, який точки системи не можуть залишити при наданні їм віртуальних переміщень, називається утримуючим.Розглянемо приклад, коли зв'язком для точок М1 і М2 є ідеальний стержень. Надамо точкам віртуальні переміщення (рис. 4) і знайдемо роботу реакцій на цих переміщеннях.