Варіаційні принципи теоретичної механіки
Дійсний рух механічної системи порівнюватимемо з уявними її рухами, які повинні задовольняти такі три умови:
1) зв'язки системи не порушуються;
2) повна механічна енергія системи в будь-якому уявному русі незмінна протягом усього часу руху і дорівнює її значенню h у дійсному русі;
3) початкове й кінцеве положення механічної системи повинні бути одні й ті самі для всіх уявних рухів і саме такі, які є для дійсного руху.Крім того, вважатимемо, що уявні рухи починаються одночасно і саме в той момент t0, в який починається дійсний рух з положення А. Кінцевий момент часу, в який система опиниться в положенні В, у дійсному русі дорівнює t1, а в уявних залежить від характеру руху і може відрізнятися від t1 на малу величину δt (додатню або від'ємну).
Дійсний рух системи з уявними порівнюють так, що розглядають лише ті уявні рухи, які нескінченно близькі (за координатами й швидкостями) до дійсного руху.
Уявні рухи механічної системи, що задовольняють всі ці вимоги, називатимемо можливими в розумінні Ейлера — Лагранжа.
Переконаємось на прикладі в тому, що моменти приходу механічної системи в кінцеве положення В справді залежать від вибору уявного руху.
Розглянемо рух однієї матеріальної точки в стаціонарному силовому полі з потенціальною функцією V(х,у,z). Оскільки уявний рух відбувається з дотриманням закону збереження енергії, то для уявного руху маємо:
звідки , (23)
де Ṽ — значення потенціальної енергії точки в уявному русі:
Ṽ=V(х̃, у̃, z̃)
Формула (23) показує, що швидкість руху точки, а значить, і час переміщення її з початкового положення А в кінцеве положення В в уявному русі залежать від форми траєкторії.
2.3.2. Доведення принципу.
Нехай голономна система з стаціонарними зв'язками рухається в потенціальному силовому полі і V — потенціальна енергія. За вихідне візьмемо загальне рівняння динаміки у вигляді:
(індекс k опустимо):
(24)
де – елементарна робота активних сил на уявному переміщенні; δх, δу, δz – варіації координат точок системи. За правилом диференціювання маємо:
(25)
У розглядуваному випадку не тільки координати х,у,г, a й час t варіюються. Це видно з того, що час приходу системи в кінцеве положення в уявному русі, як з'ясовано вище, залежить від вибору траєкторії. Тому параметр t тут не можна розглядати як незалежну змінну, що не варіюється. Це означає, що рівність яка вище була доведена для випадку, коли t не варіюється, тут не справджується. Згадану рівність слід замінити новою.
Нову формулу для в розглядуваному загальному випадку легко знайти, вводячи нову незалежну змінну s, від якої, за припущенням, залежать х і t (s може бути, наприклад, дугою траєкторії точки). Оскільки властивості варіації аналогічні властивостям диференціалу, то за тими самими правилами, що й для диференціалу, знаходимо: