Варіаційні принципи теоретичної механіки

звідки

(34)

Підставимо (34) в (33) і напишемо індекси, які раніше опускали; в результаті дістанемо:

(35)

Проінтегруємо цю рівність у дійсному русі системи від початкового її положення (А) до кінцевого (В). Інтеграл від правої частини дорівнює нулю, бо кінцеві положення системи в уявному русі такі самі, як і в дійсному (координати кінцевих положень не варіюються). Отже, з (35) знаходимо:

або, оскільки межі інтегрування фіксовані:

(36)

Ця рівність визначає принцип Ейлера—Лагранжа у формі, яку вказав Якобі.

Інтеграл із змінною верхньою границею М

)(37)

називається дією системи за Якобі.

Принцип Ейлера—Лагранжа формулюється так:Дійсний рух механічної системи з стаціонарними голономними зв'язками в потенціальному силовому полі відрізняється від усіх інших, порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Ейлера-Лагранжа) рухів тим, що для довільних двох фіксованих положень системи перша варіація дії за Якобі для дійсного руху дорівнює нулю.

У випадку однієї матеріальної точки, яка рухається при стаціонарних зв'язках у стаціонарному силовому полі, дія за Лагранжем у формі Якобі матиме вигляд:

)

або

(38)

Зупинимось коротко на тлумаченні змісту принципу Ейлера-Лагранжа. У формі (36) ніяких труднощів у розумінні змісту принципу не виникає, тому що відповідний інтеграл у (36) має простий геометричний зміст (інтегрування ведеться по дугах траекторій точок системи між фіксованими її положеннями). Зміст цього принципу розкривається цілком аналогічно тому, як це зроблено раніше для принципу Остроградського—Гамільтона:

дія за Якобі (37), обчислена між двома фіксованими положеннями системи, в дійсному русі найменша. Ми можемо тут говорити про мінімальне значення дії (37) для дійсного руху між двома фіксованими положеннями системи, бо й тут можна довести, що друга варіація дії додатна, якщо тільки кінцеве положення системи В не дуже далеке від її початкового положення А.

2.4.Принцип віртуальних переміщень

2.4.1.Віртуальні, можливі та дійсні переміщення.