Варіаційні принципи теоретичної механіки
(с)
Знаку нерівності, у співвідношенні (с) немає, тому що точки не можуть робити переміщень, при яких вони залишають зв'язок. Таким чином, стержень є утримуючим зв'язком.
Розглянемо, також, гнучку нерозтяжну нитку, перекинену через блок і утримуючу вантажі (рис. 5).
На підставі принципу Д'аламбера можна переконатися в тому, що при різних вагах вантажів, якщо знехтувати тертям на осі і масою блоку, сили натягу різних кінців нитки будуть однакові. Позначимо їх . Нитка допускає всі переміщення, крім тих, котрі її подовжують. Надамо вантажам віртуальні переміщення, при яких нитка залишається натягнутою: . Тоді
(d)
Надамо тепер віртуальні переміщення, при яких нитка не буде натягнута (вантажі залишають зв'язок): . Тоді
(e)
Отже, усі розглянуті зв'язки володіють однією загальною властивістю: робота, виконана їх реакціями на віртуальних переміщеннях, не від’ємна. Це дозволяє об'єднати фізично різні зв'язки в єдиний клас ідеальних зв'язків.
Зв'язки називаються ідеальними, якщо сума елементарних робіт, вироблених їхніми реакціями на віртуальних переміщеннях точок системи, не негативні:
(39)
Знак нерівності має місце при наданні точкам системи віртуальних переміщень, що звільняють ці точки від неутримуючих зв'язків. Якщо серед віртуальних переміщень немає таких, котрі звільняють точки системи від зв'язків, то знак нерівності в співвідношенні (39) зникає,
(40)
Співвідношення (39) чи (40) приймаємо як аналітичні визначення ідеальних зв'язків.
2.4.2.Принцип Д'аламбера — Лагранжа.
Користаючись аналітичним визначенням ідеальних зв'язків (39), доведемо принцип Д'аламбера — Лагранжа:
у кожен момент часу дійсний рух системи, яка підчиняється ідеальним зв'язкам, відрізняється від руху порівняння тим, що тільки для нього сума елементарних робіт активних сил і сил інерції на будь-яких віртуальних переміщеннях точок системи непозитивна.
Маємо систему n матеріальних точок M1, M2, ..., Mn яка підчиняється ідеальним зв'язкам. На основі принципу Д'аламбера маємо для неї наступні рівності:
(а)
Надамо точкам системи віртуальні переміщення. Тоді на підставі рівностей (а) знаходимо
чи
(b)