Варіаційні принципи теоретичної механіки

δ3S, ... . Тому ряд (11) можна переписати у вигляді

(14)

або у вигляді приросту функціоналу

(15)

Розділ ІІ. Варіаційні принципи механіки

1.1Принцип Остроградського-Гамільтона

Інтеграл із змінною верхньою границею

(16)

називається дією за Остроградським. Розмірність дії є Джс, тобто вона така сама, як розмірність сталої Планка h, що характеризує елементарний «квант дії».

Принцип Остроградського — Гамільтона формулюється так:Дійсний рух механічної системи з голономними в'язями відрізняється від усіх інших порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Остроградського) рухів тим, що для дійсного руху системи варіація дії за Остроградським, яку обчислено для довільного фіксованого проміжку часу, дорівнює нулю.

Принцип Остроградського — Гамільтона математично подається рівністю

(17)

Для доведення обчислимо варіацію дії:

(18)

Інтегруючи частинами, знайдемо:

(19)

Доданок — тут дорівнює нулю в початковий і кінцевий моменти часу, бо , а (кінцеві точки траєкторій не варіюються).

Підставляючи (19) в (18), дістанемо:

(20)

За рівнянням Лагранжа підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю; тому δS = 0. Справедливість принципу доведена.

Якщо для функціонала S виконана умова δS = 0, то говорять, що значення S стаціонарне. Умова стаціонарності дії δS = 0 вичерпно виражає закон руху механічної системи. Справді, вище показано, що з рівнянь руху Лагранжа випливає рівність δS = 0. Але і, навпаки, з умови δS = 0 випливають рівняння Лагранжа. Так, з довільності δq слідує, що для всіх t підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю, тобто випливають рівняння Лагранжа.

Принцип стаціонарної дії Остроградського — Гамільтона інколи називають принципом найменшої (екстремальної) дії. З'ясуємо походження цього терміну.