Варіаційні принципи теоретичної механіки

Залежності між узагальненими швидкостями й узагальненими імпульсами мають вигляд:

(b)

У рівність (а) підставляємо узагальнені швидкості, отримані з рівнянь (b). Знаходимо гамильтоніан розглянутої точки:

(с)

Точка має часову симетрію, тому що час t не входить явно у функцію Н. Рівняння Остроградского — Гамільтона — Якобі знаходимо:

(d)

З рівності (d) видно, що точка має просторову симетрію по координатах χ і y. Узагальнені імпульси, що відповідають цим координатам, залишаються постійними;

(е)

тут a1 і a2: — постійні значення узагальнених імпульсів рx і рy відповідно.

З рівностей (е) випливає, що функція W лінійно залежить від координат χ і y. Тому рішення рівняння (d) шукаємо у вигляді:

W = α1χ + а2у + f(z),(f)

де f(z) – невідома функція. Вираз (f) підставляємо в рівняння (d), знаходимо звичайне диференціальне рівняння першого порядку щодо функції f(z):

Звідси знаходимо

(g)

На підставі формул (f) і (g) визначаємо характеристичну функцію

(h)

де

Визначаємо перші інтеграли канонічних рівнянь динаміки:

(i)

(J)

(k)

Тут рівності (i) — проміжні інтеграли, що визначають узагальнені імпульси розглянутої точки. Геометричні інтеграли (j) визначають сімейство просторових кривих — можливих траєкторій точки, що є лініями перетинання параболічних циліндрів з утворюючими, рівнобіжними осям Оу й Ох відповідно. Кінематичний інтеграл (k) дозволяє визначити кінематичні рівняння руху точки:

Отримане рішення містить шістьох постійних інтегрування, обумовлених заданням початкових значень гамільтонових змінних. Крім того, геометричні інтеграли визначають всю сукупність можливих траєкторій точки. Такою спільністю не володіє розв’язок, отриманий для цієї задачі по методу Лагранжа.