Варіаційні принципи теоретичної механіки

Варіаційні принципи класичної механіки виявились застосовними не тільки до дискретних матеріальних систем, але й до систем з розподіленими параметрами, до суцільних середовищ. Вони відіграють важливу роль в теорії поля і в математичній фізиці. З варіаційними принципами тісно пов’язані оптико-механічна аналогія, теорія канонічних перетворень, теорія груп Лі і закони збереження. Варіаційні принципи володіють великою евристичною цінністю; вони поширюються й на інші області фізики, зокрема на теорію відносності і на квантову та хвильову механіку, де важливу роль відіграють принципи найменшої дії і пов’язаний з ними лагранжів та гамільтонів математичний формалізм.

У 1744 p. Мопертюї сформулював без доведення один варіаційний принцип і застосував його в механіці й оптиці . Утому ж самому році Л. Ейлер дав доведення цього інтегрального варіаційного принципу для випадку руху матеріальної точки в центральному силовому полі. Ж. Лагранж поширив цей принцип на широкий клас механічних рухів матеріальних систем, а Якобі в 1842 p. поглибив теорію цього принципу. У сучасній літературі розглядуваний інтегральний варіаційний принцип відомий під назвою принципу Ейлера—Лагранжа.

У першій половині XIX ст. був відкритий новий інтегральний варіаційний принцип, який тепер справедливо називають принципом Остроградського—Гамільтона. Першу важливу працю з теорії цього принципу виконав М. В. Остроградський у 1829 p. і опублікував у 1831 p. Дальший крок вперед зробив В. Гамільтон у 1834 p.; він довів цей принцип для руху механічної системи в консервативному силовому полі. Цікаво, що відправним пунктом відповідних досліджень Гамільтона в механіці були його відкриття в галузі оптики. Виявилось, що існує глибокий зв'язок між законами механіки й законами оптики; цей зв'язок був використаний у ХХ ст. для побудови так званої хвильової механіки. У більш загальній формі принцип Остроградського—Гамільтона в 1848 p. довів М. В. Остроградський. Перейдемо до розгляду допоміжних понять, необхідних для розуміння викладу варіаційних принципів.

Розділ І. Загальна характеристика принципів механіки

Принцип механіки — це аксіоматичне твердження, з якого як логічний наслідок випливає зміст механіки як науки.

Усі принципи механіки поділяються на неваріаційні і варіаційні. І ті й інші, у свою чергу, підрозділяються на диференціальні й інтегральні принципи (див. схему).

Неваріаційний принцип визначає властивості, що властиві усім рухам або в даний момент часу (диференціальний неваріаційний принцип) або на скінченому проміжку часу (інтегральний неваріаційний принцип).

Прикладом диференціального неваріаційного принципу є основний закон динаміки (другий закон Ньютона)

(а)

Прикладом інтегрального неваріаційного принципу є закон збереження енергії

Н* = h.(b)

Класична механіка, є логічним наслідком принципу (а). Німецький учений Г. Гельмгольц (1821—1894) заклав основи механіки, що випливають із принципу (b).Усі варіаційні принципи механіки дають відповідь на питання: чим відрізняється дійсний рух системи від інших рухів, що допускаються зв'язками, накладеними на систему?

Кінематично можливий рух системи, що допускається накладеними на неї зв'язками, називається рухом порівняння.

Варіаційний принцип указує характеристику дійсного руху системи, віднесену або до даного моменту часу, або до кінцевого інтервалу часу. У першому випадку він називається диференціальним, у другому — інтегральним варіаційним принципом.

Варіаційні принципи механіки визначають найбільш загальні закономірності механічних рухів і тому знаходять широке застосування в сучасній механіці і фізиці.