Варіаційні принципи теоретичної механіки

2.2. Принцип екстремальної (найменшої) дії

Аналізуючи формулу (15), приходимо до висновку, що значення дії S було б для дійсного руху мінімальним, якби виконувались разом умови

δS=0 і δ2S=0(21)

Справді, з формули (15) випливає, що при виконанні умов (21) ряд у правій частині (15) починається з другого доданку і знак ΔS тоді такий самий, як і знак δ2S, тобто ΔS>0 для будь-яких уявних в розумінні Остроградського рухів.

Отже, дві умови (21) достатні для існування мінімуму дії S, тоді як умова стаціонарності ΔS = 0 є лише необхідною умовою мінімуму дії S.

Можна довести, що друга варіація дії за Остроградським є додатньою в тому випадку, коли величина проміжку часу руху не перевищує певної границі, окремої для кожного розглядуваного руху.

Нагадаємо, що існування мінімуму дії означає: якщо порівняти числові значення інтегралів дії S і S̃ – інтегралу дії для дійсного руху із значенням інтегралу дії для уявного кінематично можливого руху, то виявиться, що завжди S
Нерівність S
Зміст принципу стаціонарної дії можна тлумачити ще й так:

дія S уявного руху (з числа допустимих) відрізняється від дії S для дійсного руху на нескінченно малу величину другого порядку, тоді як дія S̃ одного уявного руху відрізняється від дії для другого уявного руху на нескінченно малу першого порядку.

На закінчення зробимо кілька загальних зауважень щодо переваг принципу Остроградського-Гамільтона порівняно з рівняннями руху системи, записаними в інших формах.

По-перше, рівняння (17) можна застосувати при якому завгодно способі вибору узагальнених координат системи. Властивість дії S бути мінімальною для дійсного руху не залежить від того, в яких координатах ведуть обчислення інтеграла

По-друге, принцип Остроградського-Гамільтона виявляється справедливим і для систем з нескінченною множиною ступенів вільності.

Варіаційний принцип поширюється і на немеханічні фізичні процеси: теплові, електромагнітні і т. д.

В основу теорії електромагнітного поля можна покласти варіаційний принцип, який є узагальненням принципу Остроградського-Гамільтона, і потім можна вивести з нього як наслідок основні рівняння електродинаміки – так звані рівняння Максвелла. Це виведення рівнянь Максвелла цілком аналогічне до способу виведення рівнянь Лагранжа з принципу Остроградського-Гамільтона в механіці.

2.3.Принцип стаціонарної дії Ейлера-Лагранжа

2.3.1. Вихідні положення принципу.

Цей варіаційний принцип не має такої загальності, як принцип Остроградського-Гамільтона. Принцип Ейлера-Лагранжа відповідає рухові механічної системи з стаціонарними зв'язками в потенціальному силовому полі. За цих умов (система консервативна) існує інтеграл енергії

T+V=h.(22)

Нехай у момент часу t0 система пройшла через деяке положення А в просторі, а в інший момент t1 – через положення В. Домовимось називати момент t0 і положення А початковими, а момент t1 і положення В — кінцевими.