Варіаційні принципи теоретичної механіки

Система підлегла ідеальним зв'язкам, тому тут останній доданок, відповідно до співвідношення (39), не невід’ємний. Рівність (b) приймає вигляд:

(41)

і виражає принцип Д'аламбера — Лагранжа.

Якщо умовитися розглядати тільки такі віртуальні переміщення, що залишають точки системи на зв'язках, одержимо загальне рівняння динаміки

Як наслідок з цього рівняння можна одержати диференціальні рівняння руху і загальні теореми динаміки. Цю особливість загального рівняння динаміки уперше відзначив Ж. Лагранж.

Методичне значення загального рівняння динаміки полягає в тому, що воно для більшості задач динаміки дозволяє визначити закон руху, не визначаючи реакції зв'язків. У разі потреби реакції зв'язків можна визначити на другому етапі, після визначення закону руху системи, застосовуючи, наприклад, принцип Д'Аламбера.

2.4.3.Принцип віртуальних переміщень (принцип Лагранжа).

Якщо система знаходиться в рівновазі, то сили інерції дорівнюють нулю:

Рівність (41) приймає вид

(42)

і виражає принцип віртуальних переміщень (принцип Лагранжа): положення рівноваги системи, яка підпорядкована ідеальним зв'язкам, відрізняється від суміжних положень, що допускаються зв'язкам і тому тільки для нього сума елементарних робіт активних сил, що діють на точки системи, на будь-яких віртуальних переміщеннях точок системи не позитивна.

Знак нерівності в співвідношенні (42) має місце в тому випадку, коли серед накладених зв'язків є неутримуючі, а серед віртуальних переміщень є переміщення, що звільняють точки системи від зв'язків. Якщо розглядати тільки такі віртуальні переміщення, що не звільняють точки системи від накладених зв'язків, то знак нерівності в співвідношенні (42) зникає й одержуємо загальне рівняння статики

(43)

Термін «загальне рівняння статики» обумовлений тим, що з нього можна одержати умови рівноваги вільного твердого тіла і всі віртуальні умови рівноваги системи тел.

Застосування загального рівняння статики (43) особливо ефективно при розгляді рівноваги системи тел. Ця ефективність обумовлена тим, що ліва частина рівняння (43) містить тільки активні сили, що дає віртуальність не складати рівняння, що містять реакції, що не підлягають визначенню. Якщо є сили тертя, то їх відносять до активних сил.

2.5.Оптико-механічна аналогія (принцип Мопертюї-Ферма)

Аналогію між механікою точки і теорією хвильового процесу простежимо на прикладі вільної матеріальної точки, що рухається в однорідному полі сили тяжіння.Як узагальнені координати вибираємо декартові координати: q1 = χ, q2 = у, q3 = z. Відповідні ним узагальнені імпульси наступні: p1 = рx, р2= ру, р3 = рг. Точка вільна, тому узагальнена механічна енергія Н* дорівнює повній механічній енергії Ε == Т + Π. Направляючи декартову вісь Оz по вертикалі вгору, знаходимо

(а)