Варіаційні принципи теоретичної механіки

,(8)

що означає: операція диференціювання по незалежній змінній t і операція варіювання є комутативними.

1.4. Функція Лагранжа та її інтеграл у дійсному і уявному рухах.

Нехай при дійсному русі функція Лагранжа системи є L(q, ˙q, t), а в уявному вона дорівнює , де

Розкладаючи в ряд Тейлора, знайдемо

(9)

Головна, лінійна відносно , частина приросту функції L називається першою варіацією цієї функції, вона позначається δL і дорівнює

Інші доданки ряду (9), які згруповано за степенями ε, називаються, відповідно, другою, третьою і т. д. варіаціями функції L і позначаються так:

δ2L, δ3L, ..., δkL,...

Функцію Лагранжа (9) для уявного руху можна подати тепер як ряд

(10)

Ми дістали формулу, яка визначає функцію Лагранжа для уявного руху через функцію Лагранжа й її варіації в дійсному русі точки.

Щоб встановити аналогічну формулу для інтеграла від функції Лагранжа, помножимо ряд (10) на елементарний проміжок часу dt і проінтегруємо від моменту to до моменту t1. Матимемо:

(11)

Інтеграл

,(12)

аргументом якого є функція q(t), слід розглядати як фунаціонал .

У співвідношенні (11) інтеграл лівої частини рівності є функціонал, обчислений для довільного уявного руху. Перший інтеграл правої частини –той самий функціонал, обчислений для дійсного руху точки. Другий інтеграл правої частини у формулі (11) є головною, лінійною відносно δq (відносно ε) частиною приросту цього функціоналу.

Головна, лінійна, частина приросту функціоналу називається першою його варіацією і позначається δS або .

На підставі (11) і означення першої варіації функціоналу маємо:

,(13)

тобто операції інтегрування і варіювання комутативні (слід підкреслити, що доведена властивість справджується тільки за умови, що розглядаються уявні рухи у визначеному вище розумінні Остроградського, коли параметр t відіграє роль незалежної змінної).

Інші інтеграли правої частини формули (11) є послідовно так звані друга, третя і т. д. варіації функціоналу S, які позначаються так: δ2S,