Похідна та її застосування

Теорема: Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

(u(x)(x))’ = u’(x)’(x)

для любого х є (a; b). Коротше,

(u)’ = u’

Доведення: Суму функцій u(x)+(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).

Також,

Так як

х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

в)

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

для любого х є (a; b). Коротше,

Доведення. Позначимо похідні через х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаємо

Приклади.

а)

б)

Похідна частки двох функцій .