Похідна та її застосування

бере свій початок від Лейбница. У Лейбница основним поняттям була не похідна, для якої він навіть спеціального терміна не мав, а диференціал.

У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою літерою ∆ для позначення приростів змінних величин, тобто ∆y = y2 – y1, ∆х = x2 – x1 і т.д. Це позначення збереглося понині. Ми пишемо:

Позначення і для похідної ввів Лагранж.

Сам термін «похідна» уперше зустрічається у француза Луа Арбогаста в його книзі «Обчислення похідних», опублікованої в Парижі в 1800 р. Цим терміном відразу ж став користуватися і Лагранж. Термін цей швидко ввійшов у загальний ужиток, а Коші, використовуючи початкову літеру цього терміна, став позначати похідну символом Dy або Df(x).

Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) і його символи похідної утратили своє значення. Лише у фізиці і механіці в деяких випадках позначають крапками над літерами похідні за часом.

Перший друкований курс диференціального вирахування вийшов у світ в Парижі в 1696 р. під заголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор Г. Ф. Де Лопиталь за основу цієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного з найближчих співробітників Лейбница. Ось чому цей курс варто розглядати як типовий добуток школи Лейбница.

У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, «щоб величина, збільшена або зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бути розглянута як незмінна». Отут нескінченно мала розглядається як нуль, її можна відкидати. Це один з фундаментальних принципів вирахування нескінченно малих Лейбница, нині відкинутий наукою. Цим принципом користувався Лопиталь і при установленні формул диференціювання.

У перший період розробки математичного аналізу основоположники цієї теорії не могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципи цієї теорії і тому шукали підтвердження правильності теорії в узгодженості математичних висновків з досвідом, із практикою при вирішенні задач механіки й астрономії. Однак проста перевірка гіпотези на практиці не дає абсолютної впевненості в її непогрішності. Досить одного факту, що не погодиться з даною гіпотезою, як вона буде спростована. Ось чому на наступних етапах перед математиками виникла проблема суворого математичного обґрунтування теорії математичного аналізу.

1.2. Екстремуми функції

Точка х0 називається точкою локального максимуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність

Точка х0 називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність.Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:

Теорема 1.Якщо функція має в точці х0 локальний екстремум, то або , або не існує.

Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.

Точки, в яких функція визначена та неперервна, і в цих точках або не існує, називаються критичними для функції.

Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:

Теорема 2.Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0).