Похідна та її застосування

Приклад 2. Побудувати графік функції:

Розв’язання.

1.Область визначення функції f:

2.Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.

3.Період функції . Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку . Крім того, враховуючи, що , робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої на проміжку . Тому можна обмежитися дослідженням функції на проміжку .

4.Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку . Для цього знайдемо її похідну

.

Для . Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді на проміжку вона зростає, а в точці має мінімум, який дорівнює 1.

Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжках і зростає на проміжках , . В точках набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.

5.Дослідимо функцію на опуклість на проміжку :

.

Звідси безпосередньо випливає, що для . Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках графік функції опуклий вниз.

6.Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля зліва:

Отже, прямі х=0, х= – вертикальні асимптоти. Тоді і прямі х= , – вертикальні асимптоти.

2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь

Похідна в окремих випадках може бути застосована до розв’язування рівнянь, а саме : для встановлення кількості коренів або їх відсутності, для їх знаходження.

Так, наприклад, якщо маємо рівняння , де – зростаюча або спадна функція, то , зрозуміло, що рівняння не може мати більше одного кореня, причому можна з впевненістю сказати, що він буде, якщо а належить множині значень функції . А для визначення строгої монотонності застосовується похідна.

Використовують і такий факт: якщо многочлен k-го степеня має k дійсних коренів, то його похідна має їх k –1 .

Розглянемо застосування похідної до розв’язування рівнянь на конкретних прикладах.

Приклад 1. Яким умовам повинні задовольняти параметри p та q, щоб рівняння мало три різних дійсних корені?

Розв’язання. Розглянемо функцію

.